我們要證明\(y = \sin\theta\)的導數\(y^\prime=\cos\theta\)，根據導數的定義來進行證明。
導數的定義為函數\(y = f(x)\)在x處的導數\(f^\prime(x)=\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x + h)-f(x)}{h}\)，對於\(y = \sin\theta\)，則\(y^\prime=\lim\limits_{h \to 0}\frac{\sin(\theta + h)-\sin\theta}{h}\)。
根據三角函數的和角公式\(\sin(A + B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\)，將\(\sin(\theta + h)\)展開可得：\(\begin{align*}
\lim\limits_{h \to 0}\frac{\sin(\theta + h)-\sin\theta}{h}&=\lim\limits_{h \to 0}\frac{\sin\theta\cos h+\cos\theta\sin h – \sin\theta}{h}\\
&=\lim\limits_{h \to 0}\frac{\sin\theta(\cos h – 1)+\cos\theta\sin h}{h}\\
&=\lim\limits_{h \to 0}\left(\sin\theta\cdot\frac{\cos h – 1}{h}+\cos\theta\cdot\frac{\sin h}{h}\right)\cdots(1)
\end{align*}\)
根據三角函數的重要極限：\(\lim\limits_{h \to 0}\frac{\sin h}{h}=1\)，以及
\(\begin{align*}\lim\limits_{h \to 0}\frac{\cos h – 1}{h}&=\lim\limits_{h \to 0}\frac{1 – 2\sin^{2}\frac{h}{2}-1}{h}\\
&=\lim\limits_{h \to 0}\frac{- 2\sin^{2}\frac{h}{2}}{h}=-\lim\limits_{h \to 0}\frac{\sin^{2}\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\\
&=-\frac{1}{2}\cdot\lim\limits_{h \to 0}（\frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\cdot\sin\frac{h}{2})\\&=-\frac{1}{2}\times1\times0 =0 \end{align*}\)
即\(\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{\cos h – 1}{h}=0\)。
把這兩個極限值代入上$(1)$式可得：\(\sin\theta\times0+\cos\theta\times1 = \cos\theta\)所以，\((\sin\theta)^\prime = \cos\theta\)。
以下有關於正弦函數的導數應用的例子：
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求函數切線方程已知函數\(y = \sin x\)，求在\(x = \frac{\pi}{4}\)處的切線方程。首先求導得\(y^\prime=\cos x\)，當\(x=\frac{\pi}{4}\)時，\(y=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(y^\prime=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)。根據點斜式\(y – y_0 = k(x – x_0)\)，切線方程為\(y-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}(x-\frac{\pi}{4})\)。
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求函數單調性判斷函數\(y=\sin x\)的單調性。因為\(y^\prime=\cos x\)，當\(\cos x>0\)，即\(2k\pi-\frac{\pi}{2}<x<2k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z\)時，函數\(y = \sin x\)單調遞增；當\(\cos x<0\)，即\(2k\pi+\frac{\pi}{2}<x<2k\pi+\frac{3\pi}{2},k\in Z\)時，函數\(y=\sin x\)單調遞減。
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求解物理簡諧振動問題在簡諧振動中，位移\(x = A\sin(\omega t+\varphi)\)，其中A為振幅，\(\omega\)為角頻率，\(\varphi\)為初相位，t為時間。速度\(v=\frac{dx}{dt}=A\omega\cos(\omega t +\varphi)\)，加速度\(a=\frac{dv}{dt}=-A\omega^{2}\sin(\omega t+\varphi)\)。這裡就利用了
\((\sin\theta)^\prime=\cos\theta\)來求位移關於時間的導數得到速度，進一步求導得到加速度，從而分析簡諧振動的運動狀態等。