使用單位圓與三角函數線法
1. 構建圖形
在平面直角坐標系中作單位圓 $O$（圓心在原點，半徑 $r = 1$）。設角 $\alpha$、$\beta$ 均為任意角，角 $\alpha$ 的終邊與單位圓交於點 $P_1$，角 $\beta$ 以角 $\alpha$ 的終邊為始邊，其終邊與單位圓交於點 $P$，那麼角 $\alpha + \beta$ 的終邊就是 $OP$。
過點 $P$ 作 $PM\perp x$ 軸於點 $M$，則 $\sin(\alpha + \beta)=MP$（根據正弦函數的定義：在單位圓中，角的正弦值等於其終邊與單位圓交點的縱坐標）。
過點 $P$ 作 $PQ\perp OP_1$ 於點 $Q$，過點 $Q$ 作 $QR\perp x$ 軸於點 $R$，過點 $P$ 作 $PS\perp QR$ 交 $QR$ 的延長線於點 $S$。
2. 角度與線段關係分析
- 因為 $OP = 1$，在 $Rt\triangle OPQ$ 中，$\angle POQ=\beta$，根據三角函數定義：
- $OQ = \cos\beta$，$QP = \sin\beta$。
- 觀察圖形可知，$\angle QPS=\alpha$（因為 $PQ\perp OP_1$，$PS\perp QR$，$QR\perp x$ 軸，通過角度的等量代換可得）。
3. 線段分解與推導
我們知道 $MP = SR + PS$。
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- 計算 $SR$：
由於 $SR = QN$（矩形對邊相等，四邊形 $QNMS$ 是矩形），在 $Rt\triangle OQN$ 中，$\angle QON = \alpha$，$OQ=\cos\beta$，根據正弦函數定義可得 $QN = OQ\sin\alpha$，所以 $SR=\cos\beta\sin\alpha$。
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- 計算 $PS$：
在 $Rt\triangle PQS$ 中，$\angle QPS=\alpha$，$QP = \sin\beta$，根據餘弦函數定義可得 $PS = QP\cos\alpha=\sin\beta\cos\alpha$。
4. 得出結論
因為 $MP = SR + PS$，把 $SR=\cos\beta\sin\alpha$ 和 $PS=\sin\beta\cos\alpha$ 代入可得：
$\sin(\alpha + \beta)=MP=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
綜上，利用單位圓和三角函數線，成功證明了兩角和的正弦公式 $\sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$。
例子一**：求$\sin75^{\circ}$的值。
– 因為\(75^{\circ}=45^{\circ} + 30^{\circ}\)，令\(\alpha = 45^{\circ}\)，\(\beta = 30^{\circ}\)。
– 根據正弦和角公式\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)，且\(\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)，\(\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。
– 則\(\sin75^{\circ}=\sin(45^{\circ}+30^{\circ})=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}+\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}\)
– 把值代入可得：\(\sin75^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)。
**例子二**：已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，\(\cos\beta =-\frac{12}{13}\)，\(\beta\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\sin(\alpha + \beta)\)的值。
– 首先，根據\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1\)，因為\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，所以\(\cos\alpha=\sqrt{1 – \sin^{2}\alpha}=\sqrt{1 – (\frac{3}{5})^{2}}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\)。
– 其次，根據\(\sin^{2}\beta+\cos^{2}\beta = 1\)，因為\(\cos\beta =-\frac{12}{13}\)，\(\beta\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，所以\(\sin\beta=\sqrt{1-\cos^{2}\beta}=\sqrt{1 – (-\frac{12}{13})^{2}}=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}\)。
– 然後，根據正弦和角公式\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)。
– 把\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)，\(\cos\beta =-\frac{12}{13}\)，\(\sin\beta=\frac{5}{13}\)代入可得：
– \(\sin(\alpha + \beta)=\frac{3}{5}\times(-\frac{12}{13})+\frac{4}{5}\times\frac{5}{13}=\frac{-36 + 20}{65}=-\frac{16}{65}\)。