根據導數的定義，函數\(y = f(x)\)在$x$處的導數\(f^\prime(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{f(x + h)-f(x)}{h}\)。
對於\(y=\cos\theta\) ，其導數\(y^\prime=\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{\cos(\theta + h)-\cos\theta}{h}\)。
利用三角函數的和差公式\(\cos(A + B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B\)，將\(\cos(\theta + h)\)展開，得到：
\(\begin{align*}
\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{\cos(\theta + h)-\cos\theta}{h}&=\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{\cos\theta\cos h-\sin\theta\sin h-\cos\theta}{h}\\
&=\lim\limits_{h\rightarrow0}\left(\frac{\cos\theta(\cos h – 1)}{h}-\frac{\sin\theta\sin h}{h}\right)
\end{align*}\cdots(1)\)
根據三角函數的重要極限：\(\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{\sin h}{h} = 1\)，\(\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{\cos h – 1}{h}=0\cdots參考敝網(sin\theta)’=\cos\theta內證明)\)。
把這兩個極限值代入上(1)式可得：\(\cos\theta\times0-\sin\theta\times1=-\sin\theta\)。
所以\((\cos\theta)^\prime = -\sin\theta\)。
例子一：求曲線切線方程
已知函數\(y = \cos x\)，求在\(x=\frac{\pi}{3}\)處的切線方程。先對\(y = \cos x\)求導，\(y^\prime=-\sin x\)。當\(x = \frac{\pi}{3}\)時，\(y=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\)，\(y^\prime=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)。根據點斜式\(y – y_0 = k(x – x_0)\)（其中\((x_0,y_0)\)為切點，k為斜率），切線方程為\(y-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}(x – \frac{\pi}{3})\)，整理得\(y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{\sqrt{3}\pi}{6}+\frac{1}{2}\)。
例子二：判斷函數單調性
判斷函數\(y=\cos x\)在區間\([0,2\pi]\)上的單調性。
因為\(y^\prime = -\sin x\)。當\(-\sin x\gt 0\)，即\(\sin x\lt 0\)時，在區間\([0,2\pi]\)內，\(\pi\lt x\lt 2\pi\)，此時函數\(y = \cos x\)單調遞增。
當\(-\sin x\lt 0\)，即\(\sin x\gt 0\)時，在區間\([0,2\pi]\)內，\(0\lt x \lt \pi\)，此時函數\(y = \cos x\)單調遞減。
例子三：物理中的應用（簡諧振動）
在一個簡單的單擺運動模型中，假設擺角\(\theta\)很小，其位移\(x = L\cos(\omega t)\)（$L$為擺長，\(\omega\)為角速度 ，$t$為時間）。對位移求導得到速度$v$，\(v=\frac{dx}{dt}=-L\omega\sin(\omega t)\)。
再對速度求導得到加速度$a$，\(a=\frac{dv}{dt}=-L\omega^{2}\cos(\omega t)\)。
通過速度和加速度的表達式，可以分析單擺在不同時刻的運動狀態，比如速度為 $0$ 時，單擺處於最大位移處；加速度最大時，單擺也處於最大位移處等 。