1. **餘弦定理的證明（坐標法）**：
– 以\(\triangle ABC\)的\(A\)為原點，\(AB\)所在直線為\(x\)軸建立平面直角坐標系。則\(A(0,0)\)，\(B(c,0)\)，設\(C(x,y)\)。
– 由三角函數的定義可知\(x = b\cos A\)，\(y = b\sin A\)，即\(C(b\cos A,b\sin A)\)。
– 根据兩點間距離公式\(d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2+(y_2 – y_1)^2}\)，在\(\triangle ABC\)中求\(BC\)的長度\(a\)，此時\((x_1,y_1)=(b\cos A,b\sin A)\)，\((x_2,y_2)=(c,0)\)，則\(a^{2}=(x – c)^{2}+y^{2}=(b\cos A – c)^{2}+(b\sin A)^{2}\)。
– 展開\((b\cos A – c)^{2}+(b\sin A)^{2}\)：
– 根据完全平方公式\((m – n)^2 = m^2 – 2mn + n^2\)，\((b\cos A – c)^{2}=b^{2}\cos^{2}A – 2bc\cos A + c^{2}\)，\((b\sin A)^{2}=b^{2}\sin^{2}A\)。
– 所以\(a^{2}=b^{2}\cos^{2}A – 2bc\cos A + c^{2}+b^{2}\sin^{2}A\)。
– 又因為\(\sin^{2}A+\cos^{2}A = 1\)，則\(a^{2}=b^{2}(\sin^{2}A+\cos^{2}A)+c^{2}-2bc\cos A\)。
– 即\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A\)。
– 同理，若以\(B\)為原點，\(BC\)所在直線為\(x\)軸建立平面直角坐標系，可證\(b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B\)；若以\(C\)為原點，\(CA\)所在直線為\(x\)軸建立平面直角坐標系，可證\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\)。
2. **餘弦定理的延伸性質**：
– （1）由餘弦定理\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A\)，\(b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B\)，\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\)，可推得\(\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)，\(\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)，\(\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)。
– （2）在\(\triangle ABC\)中：
– 若\(a^{2}=b^{2}+c^{2}\)，則\(\cos A = 0\)，\(A = 90^{\circ}\)，三角形為直角三角形。
– 若\(a^{2}\gt b^{2}+c^{2}\)，則\(\cos A\lt0\)，\(A\)為鈍角，三角形為鈍角三角形。
– 若\(a^{2}\lt b^{2}+c^{2}\)，則\(\cos A\gt0\)，\(A\)為銳角。當\(b^{2}\lt a^{2}+c^{2}\)且\(c^{2}\lt a^{2}+b^{2}\)時，三角形為銳角三角形。
3. **舉例**：
– 例1：在\(\triangle ABC\)中，\(a = 3\)，\(b = 4\)，\(\angle C = 60^{\circ}\)，求\(c\)的值。
– 根据餘弦定理\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\)，已知\(a = 3\)，\(b = 4\)，\(C = 60^{\circ}\)，\(\cos C=\frac{1}{2}\)。
– 則\(c^{2}=3^{2}+4^{2}-2\times3\times4\times\frac{1}{2}=9 + 16 – 12 = 13\)，所以\(c = \sqrt{13}\)（数学公式部分：\(c^{2}=3^{2}+4^{2}-2\times3\times4\times\frac{1}{2}\)，\(c = \sqrt{13}\)）。
– 例2：在\(\triangle ABC\)中，\(a = 5\)，\(b = 7\)，\(c = 8\)，求\(\angle A\)的餘弦值。
– 由\(\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)，將\(a = 5\)，\(b = 7\)，\(c = 8\)代入可得：
– \(\cos A=\frac{7^{2}+8^{2}-5^{2}}{2\times7\times8}=\frac{49 + 64 – 25}{112}=\frac{88}{112}=\frac{11}{14}\)（数学公式部分：\(\cos A=\frac{7^{2}+8^{2}-5^{2}}{2\times7\times8}\)，\(\frac{49 + 64 – 25}{112}\)，\(\frac{88}{112}\)，\(\frac{11}{14}\)）。
综上，完成了餘弦定理的證明、延伸性質的闡述以及兩個例子的列舉。