<選填>在複數平面上，複數\(z\)在第一象限且滿足\(\vert z\vert = 1\)以及\(\vert\frac{-3 + 4i}{5}-z^{3}\vert=\vert\frac{-3 + 4i}{5}-z\vert\)，其中\(i = \sqrt{-1}\)，\(z\)的實部為\(a\)、虛部為\(b\)，則\(a=\)__________ ，\(b=\)__________ (化為最簡根式)
答案
由\(\vert z\vert = 1\)，可設\(z=\cos\theta+i\sin\theta\)。已知\(\vert\frac{-3 + 4i}{5}-z^{3}\vert=\vert\frac{-3 + 4i}{5}-z\vert\)，將\(z=\cos\theta+i\sin\theta\)代入，利用複數模的性質\(\vert z_1 - z_2\vert^2=(z_1 - z_2)(\overline{z_1 - z_2})\)，化簡可得\(\cos3\theta=\cos\theta\)。結合\(z\)在第一象限，可得\(\theta = \frac{\pi}{4}\) ，所以\(z=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\)，即\(a = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(b = \frac{\sqrt{2}}{2}\) 。原答案格式中的空缺部分，經計算\(a=\frac{\sqrt{2}}{2}\)可表示為\(a=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{4}}{2\sqrt{2}}\) ，\(b=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1\times\sqrt{2}}{2}\) （此處是為了對應原格式，但原格式表述可能有誤 ，正確答案以\(a = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(b = \frac{\sqrt{2}}{2}\)為準） 報錯
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