<非選擇>有一積木，其中\(ACFD\)和\(ABED\)是兩個全等的等腰梯形，\(BCFE\)是一個矩形。設\(A\)點在直線\(BC\)的投影為\(M\)且在平面\(BCFE\)的投影為\(P\)。已知\(\overline{AD}=30\) ，\(\overline{CF}=40\) ，\(\overline{AP}=15\)且\(\overline{BC}=10\) 。令\(Q\)為\(\overline{FC}\)上一點，滿足\(\overrightarrow{AQ}\)與\(\overrightarrow{DF}\)平行。利用\(\triangle ABC\)，\(\triangle ACQ\)為全等三角形，證明若水平面\(W\)介於\(A\)、\(P\)之間且與\(A\)的距離為\(x\)，則\(W\)與此積木所截的矩形區域之面積為\(90x+\frac{4}{9}x^2\) 。
答案
證明：由\(\triangle ABC\cong\triangle ACQ\)可得\(CQ = BC = 10\)。過\(A\)作\(AH\perp FC\)於\(H\)，可得\(FH = 15\) 。因為\(\triangle AFH\)與截面相似，相似比為\(\frac{15 - x}{15}\)。設截面矩形長為\(l\)，寬為\(w\)，由相似比可得\(\frac{l}{40}=\frac{15 - x}{15}\)，\(l=\frac{40(15 - x)}{15}=\frac{8(15 - x)}{3}\)；同理可得\(\frac{w}{10}=\frac{15 - x}{15}\) ，\(w=\frac{10(15 - x)}{15}=\frac{2(15 - x)}{3}\)。截面面積\(S = lw\) ，代入化簡可得\(S = 20x+\frac{4}{9}x^{2}\) 。 報錯
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