<選填>在複數平面上，複數\(z\)在第一象限且滿足\(\vert z\vert = 1\)以及\(\vert\frac{-3 + 4i}{5}-z^{3}\vert=\vert\frac{-3 + 4i}{5}-z\vert\)，其中\(i = \sqrt{-1}\)，\(z\)的實部為\(a\)、虛部為\(b\)，則\(a=\)__________ ，\(b=\)__________ (化為最簡根式)
因為\(|z| = 1\)，
令\(z = \cos\theta + i\sin\theta = a + bi\)，\(0^\circ < \theta < 90^\circ\)， 所以\(z^3 = \cos3\theta + i\sin3\theta\)。 因為\(\angle Oz^3 = 2\theta\)， 且\(\triangle OzW \cong \triangle Owz^3\)， 所以\(\angle OwW = \angle WzO^3 = \theta\)。 因為\(\left| \dfrac{-3 + 4i}{5} - z^3 \right| = \left| \dfrac{-3 + 4i}{5} - z \right|\)， 表示點\(W\left( -\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5} \right)\)到\(z^3\)點和到\(z\)點的距離相等， 所以\(\cos2\theta = -\dfrac{3}{5}\)，\(\sin2\theta = \dfrac{4}{5}\)。 故\(\cos\theta = \sqrt{\dfrac{1 + \cos2\theta}{2}} = \sqrt{\dfrac{2}{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\)， \(\sin\theta = \sqrt{\dfrac{1 - \cos2\theta}{2}} = \sqrt{\dfrac{8}{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)。 得\(a = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\)，\(b = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)。
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