105指考數學甲試題-非選擇一(1)

<非選擇題>

如圖，已知圓\(O\)與直線\(BC\)、直線\(AC\) 、直線\(AB\)均相切，且分別相切於\(D\)、\(E\)、\(F\)。又\(BC = 4\)，\(AC = 5\)，\(AB = 6\) 。假設\(\overline{BF}=x\)，試利用\(x\)分別表示\(\overline{BD}\)，\(\overline{CD}\)以及\(\overline{AE}\)，並求出\(x\)之值。(4分)

答案

設 \( \overline{BD} = x \)，則 \( \overline{CD} = 4 - x \)，由圓的性質得 \( \overline{CE} = 4 - x \)，故 \( \overline{AE} = 9 - x \)。

由 \( \overline{AO}^2 \) 的兩種表示（\( O \) 為圓心）：
\[
(6 + x)^2 + r^2 = (9 - x)^2 + r^2
\]
展開化簡得 \( 30x = 45 \implies x = \frac{3}{2} \)。

加最愛

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