<非選擇題>設三次實係數多項式\(f(x)\)的最高次項係數為\(a\)。已知在\(0\leq x\leq3\)的範圍中，\(f(x)\)的最大值12發生在\(x = 0\)，\(x = 2\)兩處。另一多項式\(G(x)\)滿足\(G(0)=0\)，以及對任意實數\(s\)，\(r(s\leq r)\)，\(\int_{s}^{r}f(t)dt=G(r)-G(s)\)恆成立，且函數\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有（相相對）極值。試求方程式\(f(x)-12=0\)的實數解（如有重根須標示），並利用\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有極值，求\(a\)之值。(5分)
答案
因為\(f(x)\)在\(0\leq x\leq3\)上最大值\(12\)在\(x = 0\)和\(x = 2\)處取得，所以\(f(x)-12 = 0\)的實數解為\(x = 0\)（重根）和\(x = 2\)（重根），即\(f(x)-12=a(x - 0)^2(x - 2)^2=ax^2(x - 2)^2\)。
因為\(G(x)\)滿足\(\int_{s}^{r}f(t)dt=G(r)-G(s)\)，所以\(G^\prime(x)=f(x)\)。
又因為\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有極值，所以\(G^\prime(1)=f(1)=0\)。
將\(x = 1\)代入\(f(x)=ax^2(x - 2)^2\)，得\(a\times1^2\times(1 - 2)^2=0\)，即\(a = - 12\)。
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