105指考數學甲試題-02

<單選題>下列哪一個選項的數值最接近\(\cos (2.6\pi)\)？
(1)\(\sin (2.6\pi)\)
(2)\(\tan (2.6\pi)\)
(3)\(\cot(2.6\pi)\)
(4)\(\sec(2.6\pi)\)
(5)\(\csc(2.6\pi)\)

答案

先化簡 \( 2.6\pi = 2\pi + \frac{3\pi}{5} \)，利用三角函數周期性：
\[
\cos(2.6\pi) = \cos\left(2\pi + \frac{3\pi}{5}\right) = \cos\frac{3\pi}{5} = \cos108^\circ = -\cos72^\circ \approx -0.3
\]
\[
\sin(2.6\pi) = \sin\frac{3\pi}{5} = \sin108^\circ = \sin72^\circ \approx 0.9
\]

逐一分析選項：
1. \( \sin(2.6\pi) = \sin72^\circ > 0 \approx 0.9 \)（不符合「介於\(-1\sim0\)」）；
2. \( \tan(2.6\pi) = \tan108^\circ = -\tan72^\circ = -\frac{\sin72^\circ}{\cos72^\circ} = -\frac{\sin72^\circ}{\sin18^\circ} < -1 \)（不符合）； 3. \( \cot(2.6\pi) = \cot108^\circ = -\cot72^\circ = -\frac{\cos72^\circ}{\sin72^\circ} = -\frac{\sin18^\circ}{\sin72^\circ} \approx -\frac{0.3}{0.9} = -0.3 \)（介於\(-1\sim0\)之間）； 4. \( \sec(2.6\pi) = \sec108^\circ = -\sec72^\circ = -\frac{1}{\cos72^\circ} = -\frac{1}{\sin18^\circ} < -1 \)（不符合）； 5. \( \csc(2.6\pi) = \csc108^\circ = \csc72^\circ = \frac{1}{\sin72^\circ} > 1 \)（不符合）。

除了3的值介於\(-1\sim0\)之間外，其餘均不合，故選 \( \boxed{3} \)。