<選填題>投擲一枚均勻銅板8次。在最初兩次的投擲中曾經出現過正面的條件下，8次投擲中恰好出現3次正面的條件機率為__________。(化成最簡分數)
答案
設事件 \( A \)：前2次投擲至少出現1次正面；
事件 \( B \)：8次投擲恰好出現3次正面。
#### 計算 \( P(A) \)
前2次至少1次正面的概率：
\[
P(A) = \binom{2}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \binom{2}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
\]
#### 計算 \( P(A \cap B) \)
\( A \cap B \) 表示「前2次至少1次正面，且8次共3次正面」，分兩種情況：
1. 前2次1正1反，後6次2正4反：\( \binom{2}{1}\binom{6}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{30}{256} \)；
2. 前2次2正，後6次1正5反：\( \binom{2}{2}\binom{6}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{6}{256} \)。
故：
\[
P(A \cap B) = \frac{30 + 6}{256} = \frac{36}{256} = \frac{9}{64}
\]
#### 計算條件機率 \( P(B|A) \)
由條件機率公式：
\[
P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{9}{64}}{\frac{3}{4}} = \frac{3}{16}
\]
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