<多選題>坐標平面上一矩形，其頂點分別為\(A(3,-2)\)、\(B(3,2)\)、\(C(-3,2)\)、\(D(-3,-2)\)。設二階方陣\(M\)為在坐標平面上定義的線性變換，可將\(A\)映射到\(B\)且將\(B\)映射到\(C\)。請選出正確的選項。
(1)\(M\)定義的線性變換是鏡射變換
(2)\(M\begin{bmatrix}3&3\\ -2&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3& – 3\\ 2&2\end{bmatrix}\)
(3)\(M\)定義的線性變換將\(C\)映射到\(D\)且將\(D\)映射到\(A\)
(4)\(M\)的行列式值為\(-1\)
(5)\(M^{3}=-M\)
設\(M=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)，由\(M\begin{bmatrix}3\\ -2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}\)，\(M\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}\)可得：
\(\begin{cases}3a-2b = 3\\3c-2d = 2\\3a + 2b=-3\\3c + 2d = 2\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}a = 0\\b =-\frac{3}{2}\\c=\frac{2}{3}\\d = 0\end{cases}\)，所以\(M=\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}\)。
(1) \(M\)不是鏡射變換，(1)錯誤。
(2) \(M\begin{bmatrix}3&3\\ -2&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&3\\ -2&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3& - 3\\ 2&2\end{bmatrix}\)，(2)正確。
(3) \(M\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3\\ - 2\end{bmatrix}\)，\(M\begin{bmatrix}-3\\ - 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-3\\ - 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\ - 2\end{bmatrix}\)，所以\(M\)將\(C\)映射到\(D\)且將\(D\)映射到\(A\)，(3)正確。
(4) \(M\)的行列式值\(\vert M\vert=0\times0-(-\frac{3}{2})\times\frac{2}{3}=1\neq - 1\)，(4)錯誤。
(5) \(M^{2}=\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}\)，\(M^{3}=M^{2}\cdot M=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&\frac{3}{2}\\-\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}=-M\)，(5)正確。
答案為(2)(3)(5)。 報錯
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