<非選擇題>
坐標空間中，\(O(0,0,0)\)為原點。平面\(z = h\)（其中\(0\leq h\leq1\)）上有一以\((0,0,h)\)為圓心的圓，在此圓上依逆時針順序取8點構成正八邊形\(P_0P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7\)，使得各線段\(\overline{OP_j}(0\leq j\leq7)\)的長度都是1。試以\(h\)表示向量內積\(\overrightarrow{OP_0}\cdot\overrightarrow{OP_4}\)。(4分)
在平面\(z = h\)上，以\((0,0,h)\)為圓心，半徑\(r=\sqrt{1 - h^{2}}\)（由\(\vert\overrightarrow{OP_j}\vert = 1\)，根據勾股定理可得）。
將正八邊形放置在平面\(z = h\)上，以圓心\((0,0,h)\)為中心建立平面直角坐標系（在\(z = h\)這個平面內）。
對於正八邊形，相鄰兩邊夾角為\(\frac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}\)，\(\overrightarrow{OP_0}\)與\(\overrightarrow{OP_4}\)的夾角為\(4\times45^{\circ}=180^{\circ}\)。
設\(\overrightarrow{OP_0}=(x_1,y_1,h)\)，\(\overrightarrow{OP_4}=(x_2,y_2,h)\)，由\(\vert\overrightarrow{OP_0}\vert=\vert\overrightarrow{OP_4}\vert = 1\)，可得\(x_1^{2}+y_1^{2}+h^{2}=1\)，\(x_2^{2}+y_2^{2}+h^{2}=1\)。
\(\overrightarrow{OP_0}\cdot\overrightarrow{OP_4}=x_1x_2 + y_1y_2+h^{2}\)。
在平面\(z = h\)上，\(\overrightarrow{OP_0}\)與\(\overrightarrow{OP_4}\)的向量關係可根據正八邊形的旋轉性質得到。
由正八邊形性質可知，\(\overrightarrow{OP_0}\)與\(\overrightarrow{OP_4}\)在\(z = h\)平面上的投影向量大小相等，方向相反（夾角\(180^{\circ}\)），且投影向量模長\(r=\sqrt{1 - h^{2}}\)。
所以\(\overrightarrow{OP_0}\cdot\overrightarrow{OP_4}=- (1 - h^{2})+h^{2}=2h^{2}-1\)。
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