<單選題>已知一實係數三次多項式\(f(x)\)在\(x = 1\)有極大值\(3\)，且圖形\(y = f(x)\)在\((4,f(4))\)之切線方程式為\(y – f(4)+5(x – 4)=0\)，試問\(\int_{1}^{4}f^{\prime\prime}(x)dx\)之值為下列哪一選項？
(1) – 5
(2) – 3
(3)0
(4)3
(5)5
答案
根據定積分基本定理\(\int_{a}^{b}f^{\prime\prime}(x)dx=f^{\prime}(b)-f^{\prime}(a)\)。
已知\(f(x)\)在\(x = 1\)有極大值，則\(f^{\prime}(1)=0\)。
又因為圖形\(y = f(x)\)在\((4,f(4))\)之切線方程式為\(y - f(4)+5(x - 4)=0\)，其斜率為\(-5\)，所以\(f^{\prime}(4)= - 5\)。
則\(\int_{1}^{4}f^{\prime\prime}(x)dx=f^{\prime}(4)-f^{\prime}(1)= - 5 - 0=-5\)。
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