<選填題>坐標平面上有三條直線\(L\)、\(L_1\)、\(L_2\)，其中\(L\)為水平線，\(L_1\)、\(L_2\)的斜率分別為\(\frac{3}{4}\)、\(-\frac{4}{3}\)。已知\(L\)被\(L_1\)、\(L_2\)所截出的線段長為30，則\(L\)、\(L_1\)、\(L_2\)所決定的三角形的面積為____。
1. **求\(L_1\)與\(L_2\)的夾角**：
- 已知兩直線斜率\(k_1=\frac{3}{4}\)，\(k_2 = -\frac{4}{3}\)，根據兩直線夾角公式\(\tan\theta=\left|\frac{k_1 - k_2}{1 + k_1k_2}\right|\)，可得\(\tan\theta=\left|\frac{\frac{3}{4}-(-\frac{4}{3})}{1+\frac{3}{4}×(-\frac{4}{3})}\right|=\infty\)，所以\(L_1\)與\(L_2\)垂直。
2. **求三角形的高**：
- 設\(L\)與\(L_1\)、\(L_2\)的交點分別為\(A\)、\(B\)，\(L_1\)與\(L_2\)的交點為\(C\)。\(L\)被\(L_1\)、\(L_2\)所截出的線段\(AB = 30\)。
- 因為\(L_1\)與\(L_2\)垂直，所以\(L_1\)與\(L_2\)的交點到\(L\)的距離\(h\)就是\(\triangle ABC\)的高。
- 由斜率\(k_1=\frac{3}{4}\)，可設\(L_1\)的直線方程為\(y=\frac{3}{4}x + b_1\)，\(L_2\)的直線方程為\(y = -\frac{4}{3}x + b_2\)。
- 由於\(L\)是水平線，不妨設\(L\)的方程為\(y = 0\)。
- 根據點到直線的距離公式，\(L_1\)與\(L_2\)的交點到\(L\)的距離\(h\)，可先求出\(L_1\)與\(L_2\)的交點。聯立\(\begin{cases}y=\frac{3}{4}x + b_1\\y = -\frac{4}{3}x + b_2\end{cases}\)，解得交點坐標（含\(b_1\)、\(b_2\)），再代入點到直線距離公式\(d=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)（\(L\)：\(Ax + By + C = 0\)即\(0x+1y + 0 = 0\)）。
- 另一種思路，因為\(L_1\)、\(L_2\)斜率分別為\(\frac{3}{4}\)、\(-\frac{4}{3}\)，所以\(L_1\)、\(L_2\)與水平線\(L\)構成的直角三角形中，\(L_1\)、\(L_2\)夾角的正切值已知，截得線段\(AB = 30\)，可利用直角三角形的性質求高\(h\)。
- 由\(L_1\)、\(L_2\)斜率可知，它們與水平線構成的直角三角形中，兩直角邊之比為\(3:4\)，截得線段\(AB\)為斜邊，所以高\(h = 12\)。
3. **計算三角形面積**：
- 三角形面積公式\(S=\frac{1}{2}×底×高\)，底為\(AB = 30\)，高\(h = 12\)，所以\(S=\frac{1}{2}×30×12 = 180\)。
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