<選填題>坐標平面上，\(x\)坐標與\(y\)坐標均為整數的點稱為格子點。令\(n\)為正整數，\(T_n\)為平面上以直線\(y=\frac{-1}{2n}x + 3\)，以及\(x\)軸、\(y\)軸所圍成的三角形區域（包含邊界），而\(a_n\)為\(T_n\)上的格子點數目，則\(\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{n}=\)____。
1. **求直線與坐標軸的交點**：
- 令\(x = 0\)，可得\(y = 3\)；令\(y = 0\)，可得\(x = 6n\)。所以直線\(y=\frac{-1}{2n}x + 3\)與\(x\)軸交於\((6n,0)\)，與\(y\)軸交於\((0,3)\) 。
2. **計算格子點數目\(a_n\)的近似值**：
- 當\(n\)很大時，\(T_n\)區域內格子點可近似看作梯形分布。
- 梯形上底為直線與\(y\)軸交點的\(y\)坐標值（即3），下底為直線與\(x\)軸交點的\(x\)坐標值（即\(6n\)），高為直線與\(y\)軸交點的\(y\)坐標值（即3）。
- 格子點數目\(a_n\)近似為梯形的“格點面積”（可看作以格點為單位的面積）。
- 直線\(y=\frac{-1}{2n}x + 3\)上的格子點，\(x\)從\(0\)到\(6n\)，\(y=\frac{-1}{2n}x + 3\)，\(y\)為整數時\(x\)也為整數，\(x = 0,2n,4n,6n\)時\(y\)是整數，加上\((0,3)\)，共4個。
- 根據梯形格點數目近似公式（可由梯形面積公式類推，考慮邊界格點），\(a_n\approx\frac{(3 + 3)}{2}×(3n + 1)\)（這裡\(3n + 1\)是考慮近似梯形的水平方向格點間隔，是一種估算方式）。
3. **計算極限**：
- 求\(\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{n}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{(3 + 3)}{2}×(3n + 1)}{n}=\lim_{n \to \infty}\frac{3×(3n + 1)}{n}=\lim_{n \to \infty}(9+\frac{3}{n}) = 9\)。
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