<非選擇題>在坐標平面上，考慮二階方陣\(A=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}4&-3\\3&4\end{bmatrix}\)所定義的線性變換。對於平面上異於原點\(O\)的點\(P_1\)，設\(P_1\)經\(A\)變換成\(P_2\)，\(P_2\)經\(A\)變換成\(P_3\)。令\(a = \overline{OP_1}\)。
(1)試求\(\sin\angle P_1OP_3\)。(4分)
(2)試以\(a\)表示\(\triangle P_1P_2P_3\)的面積。(4分)
(3)假設\(P_1\)是圖形\(y=\frac{1}{10}x^{2}-10\)上的動點，試求\(\triangle P_1P_2P_3\)面積的最小可能值。(4分)
已知旋轉矩陣 \( A = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \)，其中 \( \cos\theta = \frac{4}{5} \)，\( \sin\theta = \frac{3}{5} \)。
#### (1) 求 \( \sin\angle P_1OP_3 \)
\( P_3 \) 是 \( P_1 \) 旋轉 \( 2\theta \) 所得，故 \( \angle P_1OP_3 = 2\theta \)，利用二倍角公式：
\[
\sin\angle P_1OP_3 = \sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25}
\]
#### (2) 求 \( \triangle P_1P_2P_3 \) 的面積
設 \( |\overrightarrow{OP_1}| = |\overrightarrow{OP_2}| = |\overrightarrow{OP_3}| = a \)，利用面積公式：
\[
\triangle P_1P_2P_3 = \triangle OP_1P_2 + \triangle OP_2P_3 - \triangle OP_1P_3
\]
代入三角形面積公式 \( \frac{1}{2}a^2\sin\alpha \)：
\[
\triangle P_1P_2P_3 = \frac{1}{2}a^2\sin\theta + \frac{1}{2}a^2\sin\theta - \frac{1}{2}a^2\sin2\theta = a^2\sin\theta - \frac{1}{2}a^2\sin2\theta
\]
代入 \( \sin\theta = \frac{3}{5} \)、\( \sin2\theta = \frac{24}{25} \)：
\[
\triangle P_1P_2P_3 = a^2 \times \frac{3}{5} - \frac{1}{2}a^2 \times \frac{24}{25} = \frac{3}{25}a^2
\]
#### (3) 求面積的最小值
設 \( P_1(k, \frac{1}{10}k^2 - 10) \)，則 \( a^2 = |\overrightarrow{OP_1}|^2 = k^2 + \left(\frac{1}{10}k^2 - 10\right)^2 \)，面積函數為：
\[
f(k) = \frac{3}{25}\left[ k^2 + \left(\frac{1}{10}k^2 - 10\right)^2 \right]
\]
求導並令 \( f'(k)=0 \)：
\[
f'(k) = \frac{3}{25}\left[ 2k + 2\left(\frac{1}{10}k^2 - 10\right) \times \frac{1}{5}k \right] = 0
\]
化簡得 \( k(5 + \frac{1}{10}k^2 - 10) = 0 \)，解得 \( k=0 \) 或 \( k=\pm5\sqrt{2} \)。
計算對應面積：
- \( k=0 \) 時，\( f(0) = 12 \)；
- \( k=\pm5\sqrt{2} \) 時，\( f(\pm5\sqrt{2}) = 9 \)。
故面積最小值為 \( \boxed{9} \)。
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