<多選題>設\(f(x)\)為一定義在非零實數上的實數值函數。已知極限\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\frac{\vert x\vert}{x}\)存在，試選出正確的選項。
(1)\(\lim\limits_{x \to 0}(\frac{x}{\vert x\vert})^{2}\)存在
(2)\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\frac{x}{\vert x\vert}\)存在
(3)\(\lim\limits_{x \to 0}(f(x)+1)\frac{x}{\vert x\vert}\)存在
(4)\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\)存在
(5)\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)^{2}\)存在
(1) ○：計算 \( \lim_{x \to 0} \left(\frac{x}{|x|}\right)^2 \)：
\[
\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{|x|}\right)^2 = 1^2 = 1, \quad \lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{|x|}\right)^2 = (-1)^2 = 1
\]
故極限存在。
(2) ○：分析 \( \lim_{x \to 0} \left(f(x) \cdot \frac{x}{|x|}\right) \)：
\[
\lim_{x \to 0^+} \left(f(x) \cdot \frac{x}{|x|}\right) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x \cdot g(x))
\]
\[
\lim_{x \to 0^-} \left(f(x) \cdot \frac{x}{|x|}\right) = \lim_{x \to 0^-} (-f(x)) = \lim_{x \to 0^-} (-x \cdot g(x))
\]
由 \( \lim_{x \to 0} (g(x) \cdot |x|) \) 存在，得兩側極限相等，故 \( \lim_{x \to 0} \left(f(x) \cdot \frac{x}{|x|}\right) \) 存在。
(3) ×：反例：令 \( f(x) = x^2 \)（滿足題設條件），則：
\[
\lim_{x \to 0} \left((f(x)+1) \cdot \frac{x}{|x|}\right) = \lim_{x \to 0} \left((x^2+1) \cdot \frac{x}{|x|}\right)
\]
右極限為 \( 1 \)，左極限為 \( -1 \)，故極限不存在。
(4) ×：反例：令 \( f(x) = \frac{x}{|x|} \cdot x \)（滿足題設條件），則：
\[
\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1, \quad \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1
\]
兩側極限不相等，故 \( \lim_{x \to 0} f(x) \) 不存在。
(5) ○：分析 \( \lim_{x \to 0} (f(x))^2 \)：
\[
\lim_{x \to 0} (f(x))^2 = \lim_{x \to 0} \left(f(x) \cdot \frac{|x|}{x} \cdot f(x) \cdot \frac{x}{|x|}\right)
\]
由題設 \( \lim_{x \to 0} \left(f(x) \cdot \frac{|x|}{x}\right) \) 存在，且(2)中 \( \lim_{x \to 0} \left(f(x) \cdot \frac{x}{|x|}\right) \) 存在，故二者乘積的極限存在。
故選 \( \boxed{(1)(2)(5)} \)。
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