已知 \( |\overrightarrow{AG}| = 3 \times d(A, \text{平面}BDE) = 9 \)，且 \( \overrightarrow{AG} \parallel \) 平面 \( BDE \) 的法向量 \( \vec{n} = (2,2,-1) \)。

設 \( A(2,2,6) \)，\( G(x,y,z) \)，由 \( \overrightarrow{AG} \parallel (2,2,-1) \)，得參數式：
\[
\frac{x-2}{2} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-6}{-1} = t \implies x=2t+2,\ y=2t+2,\ z=-t+6
\]

由 \( |\overrightarrow{AG}| = 9 \)，得：
\[
\sqrt{(2t)^2 + (2t)^2 + (-t)^2} = 9 \implies \sqrt{9t^2} = 9 \implies |t|=3
\]

因 \( A、G \) 在平面 \( BDE \) 異側，取 \( t=-3 \)，故 \( G \) 的坐標為：
\[
x=2(-3)+2=-4,\ y=2(-3)+2=-4,\ z=-(-3)+6=9
\]

即 \( G \) 坐標為 \( \boxed{(-4,-4,9)} \)。

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