<多選題>設\(f(x)=-x^{2}+499\)，且\(A=\int_{0}^{10}f(x)dx\)，\(B=\sum_{n = 0}^{9}f(n)\)，\(C=\sum_{n = 1}^{10}f(n)\)，\(D=\sum_{n = 0}^{9}\frac{f(n)+f(n + 1)}{2}\)。試選出正確的選項。
(1)\(A\)表示在坐標平面上函數\(y=-x^{2}+499\)的圖形與直線\(y = 0\)、\(x = 0\)、\(x = 10\)所圍成的有界區域的面積
(2)\(B\lt C\)
(3)\(B\lt A\)
(4)\(C\lt D\)
(5)\(A\lt D\)
(1) 由定積分的幾何意義可知，\(A=\int_{0}^{10}(-x^{2}+499)dx\)表示函數\(y=-x^{2}+499\)的圖形與直線\(y = 0\)、\(x = 0\)、\(x = 10\)所圍成的有界區域的面積，(1)正確。
(2)\(B=\sum_{n = 0}^{9}(-n^{2}+499)=10\times499-\sum_{n = 0}^{9}n^{2}\)，\(C=\sum_{n = 1}^{10}(-n^{2}+499)=10\times499-\sum_{n = 1}^{10}n^{2}\)。
因為\(\sum_{n = 0}^{9}n^{2}\lt\sum_{n = 1}^{10}n^{2}\)，所以\(B\gt C\)，(2)錯誤。
(3) 由定積分的定義，\(A=\int_{0}^{10}(-x^{2}+499)dx\)，用矩形法估算定積分，\(B\)是用左端点函数值计算的黎曼和，\(A\)的精確值大於\(B\)，即\(B\lt A\)，(3)正確。
(4)\(D - C=\sum_{n = 0}^{9}\frac{f(n)+f(n + 1)}{2}-\sum_{n = 1}^{10}f(n)=\frac{f(0)+f(1)}{2}+\frac{f(1)+f(2)}{2}+\cdots+\frac{f(9)+f(10)}{2}-(f(1)+f(2)+\cdots+f(10))=\frac{f(0)-f(10)}{2}\)。
\(f(0)=499\)，\(f(10)=-100 + 499 = 399\)，\(\frac{f(0)-f(10)}{2}=\frac{499 - 399}{2}=50\gt0\)，所以\(C\lt D\)，(4)正確。
(5)\(D - A=\sum_{n = 0}^{9}\frac{f(n)+f(n + 1)}{2}-\int_{0}^{10}f(x)dx\)，由積分中值定理等可知\(D\gt A\)，(5)正確。
答案為(1)(3)(4)(5)。 報錯
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