<多選題>設\(O\)為複數平面上的原點，並令點\(A\)，\(B\)分別代表複數\(z_{1}\)，\(z_{2}\)，且滿足\(\vert z_{1}\vert = 2\)，\(\vert z_{2}\vert = 3\)，\(\vert z_{2}-z_{1}\vert=\sqrt{5}\)。若\(\frac{z_{2}}{z_{1}}=a + bi\)，其中\(a\)，\(b\)為實數，\(i=\sqrt{-1}\)。試選出正確的選項。
(1)\(\cos\angle AOB=\frac{2}{3}\)
(2)\(\vert z_{2}+z_{1}\vert=\sqrt{23}\)
(3)\(a\gt0\)
(4)\(b\gt0\)
(5)若點\(C\)代表\(\frac{z_{2}}{z_{1}}\)，則\(\angle BOC\)可能等於\(\frac{\pi}{2}\)
(1) 根据复数的几何意义，\(\vert z_{1}\vert\)，\(\vert z_{2}\vert\)，\(\vert z_{2}-z_{1}\vert\)分别对应向量\(\overrightarrow{OA}\)，\(\overrightarrow{OB}\)，\(\overrightarrow{BA}\)的模。
由余弦定理\(\cos\angle AOB=\frac{\vert z_{1}\vert^{2}+\vert z_{2}\vert^{2}-\vert z_{2}-z_{1}\vert^{2}}{2\vert z_{1}\vert\vert z_{2}\vert}=\frac{4 + 9 - 5}{2×2×3}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\)，(1)正确。
(2) \(\vert z_{2}+z_{1}\vert^{2}=(z_{2}+z_{1})(\overline{z_{2}+z_{1}})=\vert z_{2}\vert^{2}+\vert z_{1}\vert^{2}+2\mathrm{Re}(z_{1}\overline{z_{2}})\)，由\(\cos\angle AOB=\frac{2}{3}\)，\(z_{1}\overline{z_{2}}=\vert z_{1}\vert\vert z_{2}\vert\cos\angle AOB + i\vert z_{1}\vert\vert z_{2}\vert\sin\angle AOB\)，\(\vert z_{1}\vert = 2\)，\(\vert z_{2}\vert = 3\)，可得\(z_{1}\overline{z_{2}} = 4 + 2\sqrt{5}i\)（先求出\(\sin\angle AOB=\sqrt{1 - (\frac{2}{3})^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)），则\(\vert z_{2}+z_{1}\vert^{2}=9 + 4+2×4 = 21\)，\(\vert z_{2}+z_{1}\vert=\sqrt{21}\neq\sqrt{23}\)，(2)错误。
(3)(4) 已知\(\frac{z_{2}}{z_{1}}=a + bi\)，\(z_{2}=(a + bi)z_{1}\)，\(\vert z_{2}\vert=\vert a + bi\vert\vert z_{1}\vert\)，\(\vert z_{1}\vert = 2\)，\(\vert z_{2}\vert = 3\)，则\(\vert a + bi\vert=\frac{3}{2}\)，即\(a^{2}+b^{2}=\frac{9}{4}\)。
又\(z_{2}-z_{1}=(a - 1+bi)z_{1}\)，\(\vert z_{2}-z_{1}\vert=\vert a - 1+bi\vert\vert z_{1}\vert\)，\(\vert z_{2}-z_{1}\vert=\sqrt{5}\)，\(\vert z_{1}\vert = 2\)，所以\(\vert a - 1+bi\vert=\frac{\sqrt{5}}{2}\)，即\((a - 1)^{2}+b^{2}=\frac{5}{4}\)。
联立\(\begin{cases}a^{2}+b^{2}=\frac{9}{4}\\(a - 1)^{2}+b^{2}=\frac{5}{4}\end{cases}\)，将第一个式子减去第二个式子得\(2a - 1 = 1\)，解得\(a = 1\gt0\)，把\(a = 1\)代入\(a^{2}+b^{2}=\frac{9}{4}\)得\(b=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\)，(3)正确，(4)错误。
(5) 若\(\angle BOC=\frac{\pi}{2}\)，则\((a + bi)i\)（\(i\)是虚数单位）对应的向量与\(\overrightarrow{OB}\)垂直，\((a + bi)i=-b + ai\)，根据向量垂直性质，\((-b + ai)\cdot(a + bi)=-ab + a^{2}i - b^{2}i+abi^{2}=(a^{2}-b^{2})i\)，要使其为纯虚数，当\(a = 1\)，\(b=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\)时，\((a^{2}-b^{2})i\)是纯虚数，所以\(\angle BOC\)可能等于\(\frac{\pi}{2}\)，(5)正确。
答案为(1)(3)(5)。 報錯
ChatGPT DeepSeek
相關試題
