<多選題>假設某棒球隊在任一局發生失誤的機率都等於\(P\)（其中\(0\lt p\lt1\)），且各局之間發生失誤與否互相獨立。令隨機變數\(X\)代表一場比賽\(9\)局中出現失誤的局數，且令\(p_{k}\)代表\(9\)局中恰有\(k\)局出現失誤的機率\(P(X = k)\)。已知\(p_{4}+p_{5}=\frac{45}{8}p_{6}\)，則該球隊在一場\(9\)局的比賽中出現失誤局數的期望值為\(\frac{(\quad)}{(\quad)}\)。(化成最簡分數)
答案
已知 \( X \sim B(9, p) \)（9次伯努利試驗，失誤機率為 \( p \)），定義：
\[
p_4 = C_9^4 p^4(1-p)^5,\ p_5 = C_9^5 p^5(1-p)^4,\ p_6 = C_9^6 p^6(1-p)^3
\]
由 \( p_4 + p_5 = \frac{45}{8}p_6 \)，代入組合數（\( C_9^4=C_9^5=126,\ C_9^6=84 \)）：
\[
126p^4(1-p)^5 + 126p^5(1-p)^4 = \frac{45}{8} \times 84p^6(1-p)^3
\]
兩側除以 \( 126p^4(1-p)^3 \) 簡化：
\[
(1-p)^2 + p(1-p) = \frac{45 \times 84}{8 \times 126} p^2
\]
展開左側、計算右側：
\[
1 - p = \frac{15}{4}p^2 \implies 15p^2 + 4p - 4 = 0
\]
因式分解得 \( (3p+2)(5p-2)=0 \)，故 \( p = \frac{2}{5} \)（\( p=-\frac{2}{3} \) 不合）。
9局比賽失誤局數的期望值：
\[
E(X) = 9p = 9 \times \frac{2}{5} = \frac{18}{5}
\]
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