<多選題>坐標平面上，已知直線\(L\)與函數\(y=\log _{2}x\)的圖形有兩個交點\(P(a,b)\)，\(Q(c,d)\)，且\(\overline{PQ}\)的中點在\(x\)軸上。試選出正確的選項。
(1)\(L\)的斜率大於\(0\)
(2)\(bd=-1\)
(3)\(ac = 1\)
(4)\(L\)的\(y\)截距大於\(1\)
(5)\(L\)的\(x\)截距大於\(1\)
答案
(1) ○：\( y = \log_2 x \) 是遞增函數，故直線 \( L \) 的斜率為正（大於0）。
(2) ×：\( R \) 是 \( P、Q \) 中點，故 \( \frac{b+d}{2} = 0 \implies b = -d \)。
若 \( bd = -1 \)，則 \( -d^2 = -1 \implies d = \pm1 \)（取正），此時僅 \( P\left(\frac{1}{2}, -1\right)、Q(2, 1) \) 滿足，其他點坐標不成立。
(3) ○：由 \( \log_2 a = b \)、\( \log_2 c = d \) 且 \( b + d = 0 \)，得：
\[
\log_2 a + \log_2 c = 0 \implies \log_2(ac) = 0 \implies ac = 2^0 = 1
\]
(4) ×：\( y = \log_2 x \) 過 \( (1,0) \) 且圖形凹口向上（非向下）；若 \( L \) 的 \( y \)-截距大於 \( -1 \)，則 \( PR \neq RQ \)。
(5) ○：同(4)，直線 \( L \) 的 \( x \)-截距大於1。
故選 \( \boxed{(1)(3)(5)} \)。
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