<多選題>設\(f(x)\)為一定義在非零實數上的實數值函數。已知極限\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\frac{\vert x\vert}{x}\)存在，試選出正確的選項。
(1)\(\lim\limits_{x \to 0}(\frac{x}{\vert x\vert})^{2}\)存在
(2)\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\frac{x}{\vert x\vert}\)存在
(3)\(\lim\limits_{x \to 0}(f(x)+1)\frac{x}{\vert x\vert}\)存在
(4)\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\)存在
(5)\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)^{2}\)存在
(1) 當\(x\gt0\)時，\(\frac{x}{\vert x\vert}=1\)；當\(x\lt0\)時，\(\frac{x}{\vert x\vert}=-1\)，但\((\frac{x}{\vert x\vert})^{2}\)在\(x\neq0\)時恆為\(1\)，所以\(\lim\limits_{x \to 0}(\frac{x}{\vert x\vert})^{2}=1\)，極限存在，(1)正確。
(2) 令\(g(x)=f(x)\frac{\vert x\vert}{x}\)，已知\(\lim\limits_{x \to 0}g(x)\)存在。而\(f(x)\frac{x}{\vert x\vert}=-f(x)\frac{\vert x\vert}{x}\)（\(x\lt0\)），\(f(x)\frac{x}{\vert x\vert}=f(x)\frac{\vert x\vert}{x}\)（\(x\gt0\)）。若\(\lim\limits_{x \to 0}g(x)=A\)，則\(\lim\limits_{x \to 0^{+}}f(x)\frac{x}{\vert x\vert}=\lim\limits_{x \to 0^{+}}g(x)=A\)，\(\lim\limits_{x \to 0^{-}}f(x)\frac{x}{\vert x\vert}=-\lim\limits_{x \to 0^{-}}g(x)= - A\)。只有當\(A = 0\)時，\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\frac{x}{\vert x\vert}\)才存在，所以\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\frac{x}{\vert x\vert}\)不一定存在，(2)錯誤。
(3) \((f(x)+1)\frac{x}{\vert x\vert}=f(x)\frac{x}{\vert x\vert}+\frac{x}{\vert x\vert}\)。由(2)知\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\frac{x}{\vert x\vert}\)不一定存在，且\(\lim\limits_{x \to 0}\frac{x}{\vert x\vert}\)不存在，所以\(\lim\limits_{x \to 0}(f(x)+1)\frac{x}{\vert x\vert}\)不一定存在，(3)錯誤。
(4) 僅知道\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\frac{\vert x\vert}{x}\)存在，不能推出\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\)存在。例如\(f(x)=\frac{1}{x}\)，\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\frac{\vert x\vert}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{\vert x\vert}{x^{2}}\)不存在；若\(f(x)=\begin{cases}x, & x\gt0\\ - x, & x\lt0\end{cases}\)，\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\frac{\vert x\vert}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\vert x\vert = 0\)存在，但\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\)不存在，(4)錯誤。
(5) 同理，由\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\frac{\vert x\vert}{x}\)存在不能推出\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)^{2}\)存在。例如\(f(x)=\frac{1}{x}\)，\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\frac{\vert x\vert}{x}\)不存在；若\(f(x)=\begin{cases}1, & x\gt0\\ - 1, & x\lt0\end{cases}\)，\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)\frac{\vert x\vert}{x}=0\)存在，但\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)^{2}=1\)存在，所以\(\lim\limits_{x \to 0}f(x)^{2}\)不一定存在，(5)錯誤。
答案為(1)。 報錯
ChatGPT DeepSeek
相關試題
