<選填題>設\(AB\)，\(CD\)為圓上的相異四點。已知圓的半徑為\(\frac{7}{2}\)，\(\overline{AB}=5\)，兩線段\(\overline{AC}\)與\(\overline{BD}\)互相垂直，如圖所示(此為示意圖，非依實際比例)。則\(\overline{CD}\)的長度为\(\sqrt{(\quad)}\)。(化成最簡根式)
答案
設圓的圓心為\(O\)，半徑\(r = \frac{7}{2}\)。
作\(OM\perp AB\)於\(M\)，根據垂徑定理，\(AM=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}\)。
在\(Rt\triangle OMA\)中，由勾股定理可得\(OM=\sqrt{r^{2}-AM^{2}}=\sqrt{(\frac{7}{2})^{2}-(\frac{5}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{49 - 25}{4}}=\sqrt{6}\)。
因為\(AC\perp BD\)，設\(AC\)與\(BD\)相交於點\(P\)，根據圓的性質，\(OM^{2}+ON^{2}=OP^{2}\)（\(ON\)為\(O\)到\(CD\)的距離）。
又因為圓的對稱性，可推出\(AB^{2}+CD^{2}=4r^{2}\)（這是圓中兩垂直弦的一個性質，可通過勾股定理多次推導得出）。
將\(r = \frac{7}{2}\)，\(AB = 5\)代入可得\(25+CD^{2}=4\times(\frac{7}{2})^{2}\)
\(25+CD^{2}=4\times\frac{49}{4}\)
\(CD^{2}=49 - 25 = 24\)
所以\(CD=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\)，故答案為\(24\)。
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