<非選擇題>二、考慮三次多項式 \( f(x) = -x^3 – 3x^2 + 3 \)。試回答下列問題。
(1) 在坐標平面上，試描繪 \( y = f(x) \) 的函數圖形，並標示極值所在點之坐標。（4分）
(2) 令 \( f(x) = 0 \) 的實根為 \( a_1, a_2, a_3 \)，其中 \( a_1 < a_2 < a_3 \)，試求 \( a_1, a_2, a_3 \) 分別在哪兩個相鄰整數之間。（2分）
(3) 承(2)，試說明 \( f(x) = a_1 \)、\( f(x) = a_2 \)、\( f(x) = a_3 \) 各有幾個相異實根。（4分）
(4) 試求 \( f(f(x)) = 0 \) 有幾個相異實根。
（註：\( f(f(x)) = -(f(x))^3 – 3(f(x))^2 + 3 \)）（2分）
已知 \( f(x) = -x^3 - 3x^2 + 3 \)，先求導數：
\[
f'(x) = -3x^2 - 6x, \quad f''(x) = -6x - 6
\]
(1) **極值與圖形**
令 \( f'(x) = 0 \)，得 \( -3x(x+2) = 0 \implies x=0 \) 或 \( x=-2 \)：
- \( x=0 \) 時，\( f(0)=3 \)，且 \( f''(0)=-6 < 0 \)，故 \( (0, 3) \) 為**極大值點**；
- \( x=-2 \) 時，\( f(-2)=-1 \)，且 \( f''(-2)=6 > 0 \)，故 \( (-2, -1) \) 為**極小值點**。
(2) **實根的區間**
由勘根定理，計算整數點的函數值：
\[
\begin{array}{c|c}
x & f(x) \\
\hline
-3 & 3 \\
-2 & -1 \\
-1 & 1 \\
0 & 3 \\
1 & -1 \\
\end{array}
\]
因 \( f(-3)f(-2) < 0 \)、\( f(-2)f(-1) < 0 \)、\( f(0)f(1) < 0 \)，故：
- \( a_1 \in (-3, -2) \)，\( a_2 \in (-2, -1) \)，\( a_3 \in (0, 1) \)。
(3) **\( f(x) = a_i \) 的實根個數**
由 \( f(x) \) 的圖形（極大值3、極小值-1）：
- \( a_1 \in (-3, -2) < -1 \)，故直線 \( y=a_1 \) 與 \( f(x) \) 僅交於1點，即 \( f(x)=a_1 \) 有**1個實根**；
- \( a_2 \in (-2, -1) < -1 \)，同理 \( f(x)=a_2 \) 有**1個實根**；
- \( a_3 \in (0, 1) \in (-1, 3) \)，直線 \( y=a_3 \) 與 \( f(x) \) 交於3點，即 \( f(x)=a_3 \) 有**3個實根**。
(4) **\( f(f(x)) = 0 \) 的實根個數**
\( f(f(x))=0 \) 等價於 \( f(x)=a_1 \) 或 \( f(x)=a_2 \) 或 \( f(x)=a_3 \)，結合(3)的結果：
\[
\text{實根總數} = 1 + 1 + 3 = 5
\]
故 \( f(f(x))=0 \) 有**5個相異實根**。
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