設\(\overrightarrow{OQ}=(x,y,z)\)，\(\vert\overrightarrow{OQ}\vert = 2\)，則\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\)。
由\(\overrightarrow{OQ}\)與\(\overrightarrow{OA}\)夾角為\(60^{\circ}\)，根據向量內積公式\(\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{OA}=\vert\overrightarrow{OQ}\vert\vert\overrightarrow{OA}\vert\cos60^{\circ}\)，\(\vert\overrightarrow{OA}\vert = 2\)，可得\(\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{OA}=x+\sqrt{2}y + z = 2\times2\times\frac{1}{2}=2\) ①。
由\(\overrightarrow{OQ}\)與\(\overrightarrow{OB}\)夾角為\(60^{\circ}\)，\(\vert\overrightarrow{OB}\vert = 2\)，可得\(\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{OB}=2x=2\times2\times\frac{1}{2}=2\)，解得\(x = 1\)。
把\(x = 1\)代入①式得：\(1+\sqrt{2}y + z = 2\)，即\(z = 1-\sqrt{2}y\)。
將\(x = 1\)，\(z = 1-\sqrt{2}y\)代入\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\)得：\(1 + y^{2}+(1-\sqrt{2}y)^{2}=4\)，
展開得：\(1 + y^{2}+1 - 2\sqrt{2}y + 2y^{2}=4\)，
整理得：\(3y^{2}-2\sqrt{2}y - 2 = 0\)，
分解因式得：\((\sqrt{3}y+\sqrt{2})(\sqrt{3}y-\sqrt{2}) = 0\)，
解得\(y_1=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)，\(y_2=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)。
當\(y=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)時，\(z = 1-\frac{2}{\sqrt{3}}\)；當\(y=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)時，\(z = 1+\frac{2}{\sqrt{3}}\)。
設直線\(L\)的方向向量為\(\overrightarrow{d}=(m,n,p)\)，取\(Q_1(1,\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},1-\frac{2}{\sqrt{3}})\)，\(Q_2(1,-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},1+\frac{2}{\sqrt{3}})\)，
則\(\overrightarrow{d}=\overrightarrow{Q_1Q_2}=(0,-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}},\frac{4}{\sqrt{3}})\)，化簡得\(\overrightarrow{d}=(0,-\sqrt{2},2)\)（方向向量不唯一，與之平行的向量均可）。

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