<非選擇題>坐標空間中以\(o\)表示原點，給定兩向量\(\overrightarrow{OA}=(1,\sqrt{2},1)\)、\(\overrightarrow{OB}=(2,0,0)\)。若\(\overrightarrow{OQ}\)是長度為2的向量，分別與\(\overrightarrow{OA}\)、\(\overrightarrow{OB}\)之夾角皆為\(60^{\circ}\)，已知滿足此條件的所有點\(Q\)均落在一直線\(L\)上。承(3)，試求出滿足條件的所有\(Q\)點之坐標。(4分)
答案
(4) 將 \( y = t \) 代入平面式 \( \begin{cases} x + z = 2 - \sqrt{2}t \\ x = 1 \end{cases} \)，
解得 \( x = 1 \)，\( z = 1 - \sqrt{2}t \)，故可設 \( Q \) 的坐標為 \( (1, t, 1 - \sqrt{2}t) \)。
因 \( |\overrightarrow{OQ}| = 2 \)，故：
\[
\sqrt{1^2 + t^2 + (1 - \sqrt{2}t)^2} = 2
\]
平方後化簡：
\[
1 + t^2 + 1 - 2\sqrt{2}t + 2t^2 = 4 \implies 3t^2 - 2\sqrt{2}t - 2 = 0
\]
因式分解得 \( (3t + \sqrt{2})(t - \sqrt{2}) = 0 \)，解得 \( t = -\frac{\sqrt{2}}{3} \) 或 \( t = \sqrt{2} \)。
因此 \( Q \) 的坐標為 \( \left(1, -\frac{\sqrt{2}}{3}, 1 + \frac{2}{3}\right) = \boxed{\left(1, -\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{5}{3}\right)} \)，
或 \( \boxed{(1, \sqrt{2}, 1 - 2)} = (1, \sqrt{2}, -1) \)。
相關試題
