108指考數學甲試題-非選擇一(2)

向量與其運算

<非選擇題>坐標空間中以\(o\)表示原點，給定兩向量\(\overrightarrow{OA}=(1,\sqrt{2},1)\)、\(\overrightarrow{OB}=(2,0,0)\)。試回答下列問題。
承(1)，已知滿足此條件的所有點\(P\)均落在一平面\(E\)上，試求平面\(E\)的方程式。(2分)

答案

設\(P(x,y,z)\)，\(\overrightarrow{OP}=(x,y,z)\)，由(1)知\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}=2\)，且\(\overrightarrow{OA}=(1,\sqrt{2},1)\)。
所以\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}=x+\sqrt{2}y + z = 2\)。
故平面\(E\)的方程式為\(x+\sqrt{2}y + z - 2 = 0\)。

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