<多選題>設\(\lt a_{n}\gt \)、\(\lt b_{n}\gt\)為兩實數數列，且對所有的正整數\(n\)，\(a_{n}\lt b_{n}^{2}\lt a_{n + 1}\)均成立。若已知\(\lim\limits _{n \to \infty} a_{n}=4\)，試選出正確的選項。
(1)對所有的正整數\(n\)，\(a_{n}\gt 3\)均成立
(2)存在正整數\(n\)，使得\(a_{n + 1}\gt 4\)
(3)對所有的正整數\(n\)，\(b_{n}^{2}\lt b_{n + 1}^{2}\)均成立
(4)\(\lim\limits _{n \to \infty} b_{n}^{2}=4\)
(5)\(\lim\limits _{n \to \infty} b_{n}=2\)或\(\lim\limits _{n \to \infty} b_{n}=-2\)
答案
(1) 雖然\(\lim\limits _{n \to \infty} a_{n}=4\)，但不能就此得出對所有正整數\(n\)，\(a_{n}\gt 3\)均成立。例如數列\(a_n\)可能在趨近於無窮時才接近4，前面的項可能小於3，(1)錯誤。
(2) 因為\(\lim\limits _{n \to \infty} a_{n}=4\)，且\(a_{n}\lt a_{n + 1}\)，所以必然存在正整數\(n\)，使得\(a_{n + 1}\gt 4\)，(2)正確。
(3) 僅由\(a_{n}\lt b_{n}^{2}\lt a_{n + 1}\)和\(\lim _{n \to \infty} a_{n}=4\)，不能得出對所有正整數\(n\)，\(b_{n}^{2}\lt b_{n + 1}^{2}\)均成立。比如\(b_n\)的取值可能不具有這樣的單調性，(3)錯誤。
(4) 由夾逼定理，\(\lim \limits_{n \to \infty} a_{n}=\lim\limits _{n \to \infty} a_{n + 1}=4\)，且\(a_{n}\lt b_{n}^{2}\lt a_{n + 1}\)，所以\(\lim\limits _{n \to \infty} b_{n}^{2}=4\)，(4)正確。
(5) 雖然\(\lim\limits _{n \to \infty} b_{n}^{2}=4\)，但\(\lim\limits _{n \to \infty} b_{n}\)不一定存在，比如\(b_n\)可能在2和 - 2附近跳動，不一定趨向於某一個確定值，(5)錯誤。
答案為(2)(4)。 報錯
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