<多選題>已知三次實係數多項式函數\(f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx + 2\)，在\(-2\leq x\leq1\)範圍內的圖形如示意圖。試選出正確的選項。
(1)\(a>0\)
(2)\(b>0\)
(3)\(c>0\)
(4)方程式\(f(x)=0\)恰有三實根
(5)\(y = f(x)\)圖形的反曲點的\(y\)坐標為正
(1) 觀察函數圖像，當\(x\)趨向正無窮時，\(y\)也趨向正無窮，對於三次函數\(y = ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)（\(a\neq0\)），當\(a>0\)時才有此性質，所以\(a>0\)，(1)正確。
(2) 對\(f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx + 2\)求導得\(f'(x)=3ax^{2}+2bx + c\)，其對稱軸為\(x = -\frac{b}{3a}\)。由圖像可知，函數的對稱軸在\(y\)軸左側，即\(-\frac{b}{3a}<0\)，又因為\(a>0\)，所以\(b>0\)，(2)正確。
(3) 由\(f(x)\)的圖像可知，在\(x = 0\)處，函數的切線斜率為負。\(f'(x)=3ax^{2}+2bx + c\)，\(f'(0)=c\)，所以\(c<0\)，(3)錯誤。
(4) 從給定區間\(-2\leq x\leq1\)的圖像能看出，函數\(y = f(x)\)的圖像與\(x\)軸有三個交點，這表明方程式\(f(x)=0\)恰有三個實根，(4)正確。
(5) 先對\(f'(x)=3ax^{2}+2bx + c\)求導得\(f''(x)=6ax + 2b\)，令\(f''(x)=0\)，可得反曲點的\(x\)坐標為\(x = -\frac{b}{3a}\)。將\(x = -\frac{b}{3a}\)代入\(f(x)\)得\(y = f(-\frac{b}{3a})=a(-\frac{b}{3a})^{3}+b(-\frac{b}{3a})^{2}+c(-\frac{b}{3a}) + 2\)，化簡可得\(y = 2-\frac{b^{3}}{27a^{2}}-\frac{bc}{3a}\)，其值不一定為正，(5)錯誤。
答案為(1)(2)(4)。 報錯
ChatGPT DeepSeek
相關試題
