<選填題>設\(z\)為複數。在複數平面上，一個正六邊形依順時針方向的連續三個頂點為\(z\)、\(0\)、\(z + 5 – 2\sqrt{3}i\)（其中\(i=\sqrt{-1}\)），則\(z\)的實部為 （化成最簡分數）。
\( z \) 的實部為 \( \boxed{-\frac{7}{2}} \)。
解：設 \( z = x + yi \)（\( x,y \in \mathbb{R} \)），\( z \) 以原點為中心逆時針旋轉 \( 120^\circ \) 後得 \( z+5-2\sqrt{3}i \)。
由複數旋轉的幾何意義，旋轉 \( 120^\circ \) 對應乘 \( \cos120^\circ + i\sin120^\circ = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \)，故：
\[
z+5-2\sqrt{3}i = z \cdot \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)
\]
代入 \( z = x + yi \)，展開並比較實部、虛部：
\[
x+5 + (y-2\sqrt{3})i = (x + yi)\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = -\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y\right)i
\]
得方程組：
\[
\begin{cases}
x+5 = -\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \\
y-2\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
3x + \sqrt{3}y = -10 \\
\sqrt{3}x - 3y = -4\sqrt{3}
\end{cases}
\]
解得 \( x = -\frac{7}{2} \)，故 \( z \) 的實部為 \( \boxed{-\frac{7}{2}} \)。
相關試題
