<單選題>在一座尖塔的正南方地面某點A，測得塔頂的仰角為14°；又在此尖塔正東方地面某點B，測得塔頂的仰角為18°30’，且A、B兩點距離為65公尺。已知當在線段\(\overline{AB}\)上移動時，在C點測得塔頂的仰角為最大，則C點到塔底的距離最接近下列哪一個選項？（\(\cot14^{\circ}≈4.01\)，\(\cot18^{\circ}30’≈2.99\) ）
(1)27公尺
(2)29公尺
(3)31公尺
(4)33公尺
(5)35公尺
設塔高為\(h\)，塔底為\(O\)點。在\(Rt\triangle AOC\)中，\(\cot14^{\circ}=\frac{AO}{h}\)，所以\(AO = h\cot14^{\circ}\)；在\(Rt\triangle BOC\)中，\(\cot18^{\circ}30'=\frac{BO}{h}\)，所以\(BO = h\cot18^{\circ}30'\)。
在\(\triangle AOB\)中，\(\angle AOB = 90^{\circ}\)，根據勾股定理\(AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}\)，已知\(AB = 65\)，則\(65^{2}=h^{2}\cot^{2}14^{\circ}+h^{2}\cot^{2}18^{\circ}30'\)。
\(h^{2}=\frac{65^{2}}{\cot^{2}14^{\circ}+\cot^{2}18^{\circ}30'}=\frac{65^{2}}{4.01^{2}+2.99^{2}}=\frac{4225}{16.0801 + 8.9401}=\frac{4225}{25.0202}\)。
當在線段\(\overline{AB}\)上的\(C\)點測得塔頂仰角最大時，此時\(OC\perp AB\)。
由三角形面積公式可得\(S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}AO\cdot BO=\frac{1}{2}AB\cdot OC\)，即\(OC=\frac{AO\cdot BO}{AB}\)。
\(AO\cdot BO = h^{2}\cot14^{\circ}\cot18^{\circ}30'\)，所以\(OC=\frac{h^{2}\cot14^{\circ}\cot18^{\circ}30'}{AB}\)。
把\(h^{2}=\frac{4225}{25.0202}\)，\(\cot14^{\circ}≈4.01\)，\(\cot18^{\circ}30'≈2.99\)，\(AB = 65\)代入可得：
\(OC=\frac{\frac{4225}{25.0202}\times4.01\times2.99}{65}\)
\(=\frac{4225\times4.01\times2.99}{25.0202\times65}\)
\(=\frac{4225\times11.9899}{1626.313}\)
\(\approx\frac{4225\times12}{1626.313}=\frac{50700}{1626.313}\approx31\)（公尺）。
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