<多選題>設Γ為坐標平面上通過$A(7,0)$與\(B(0,\frac{7}{2})\)兩點的圓。試選出正確的選項。
(1)Γ的半徑大於或等於5
(2)當Γ的半徑達到最小可能值時，Γ通過原點
(3)Γ與直線\(x + 2y = 6\)有交點
(4)Γ的圓心不可能在第四象限
(5)若Γ的圓心在第三象限，則Γ的半徑大於8
答案
(2)(5)。
(1)設圓心坐標為\((m,n)\)，半徑為\(r\)。
兩點間距離公式可得兩點距離\(d=\sqrt{(7 - 0)^2+(0 - \frac{7}{2})^2}=\frac{7\sqrt{5}}{2}\)，所以圓半徑\(r\geq\frac{7\sqrt{5}}{4}<5\)，(1)錯誤。
(2)當半徑最小時，圓心是兩點所連線段中點$d(\frac{7}{2},\frac{7}{4})$，$d(\frac{7}{2},\frac{7}{4},0))=\frac{7\sqrt{5}}{2}$，(2)O。
(3)$\because直線x + 2y = 6未經過(7,0)或(0,\frac{7}{2})$,只要圓的半徑夠大即可保證與直線不相交,(3)錯誤。
(4)圓心在$\overline{AB}$的中垂線上，畫出中垂線可看出可經過第四象限，因此存在這樣的圓心，(4)錯誤。
(5)由(4)算出中垂線$L:2x-y=\frac{21}{4}$,$L與y軸交點(0,-\frac{21}{4})$,最小半徑=$\sqrt{(7-0)^2+(0+\frac{21}{4})^2}\gt8$計算可得\(r>8\)，(5)正確。答案為(2)(5)。
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