108指考數學甲試題-非選擇二(1)

多項式, 定積分

<非選擇題>設\(f(x)\)為實係數多項式函數，且\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)（\(x\geq1\)）。試求\(f(1)\) 。(2分)

答案

令\(x = 1\)，代入\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)可得：
\(1\times f(1)=3\times1^{4}-2\times1^{3}+1^{2}+\int_{1}^{1}f(t)dt\)。
因為\(\int_{1}^{1}f(t)dt = 0\)，所以\(f(1)=3 - 2 + 1=2\)。

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