109指考數學甲(補考)試題-02

函數的導數, 微積分基本定理

<單選題>某質點在數線上移動，已知其位置坐標為\(s(t)=\int_{0}^{t}(-x^{2}+6x)dx\)，其中\(t\)表時間且\(0 \leq t \leq10\)。若此質點的速度在時段\(0 \leq t < a\)遞增，且在時段\(a < t \leq10\)遞減，試選出正確的\(a\)值。 (1)3 (2)4 (3)5 (4)6 (5)7

答案

首先，根據微積分基本定理，速度\(v(t)=s'(t)=-t^{2}+6t\)。
對\(v(t)\)求導得\(v'(t)=-2t + 6\)。
令\(v'(t)=0\)，即\(-2t + 6 = 0\)，解得\(t = 3\)。
當\(v'(t)>0\)時，\(-2t + 6>0\)，解得\(t < 3\)，此時速度\(v(t)\)遞增；當\(v'(t)<0\)時，\(-2t + 6<0\)，解得\(t>3\)，此時速度\(v(t)\)遞減。
所以\(a = 3\)，答案為(1)。

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