<多選題>在複數平面上，設\(O\)為原點，且\(A\)、\(B\)分別表示坐標為複數\(z\)、\(z + 1\)的點。已知點\(A\)、點\(B\)都在以\(O\)為圓心的單位圓上，試選出正確的選項。
(1)直線\(AB\)與實數軸平行
(2)\(\triangle OAB\)為直角三角形
(3)點\(A\)在第二象限
(4)\(z^{3}=1\)
(5)坐標為\(1 + z\)的點也在同一單位圓上
已知\(\vert z\vert = 1\)，\(\vert z + 1\vert = 1\)，設\(z=x+yi\)，\(x,y\in R\)。
由\(\vert z\vert = 1\)得\(x^{2}+y^{2}=1\)；由\(\vert z + 1\vert = 1\)得\((x + 1)^{2}+y^{2}=1\)，即\(x^{2}+2x + 1+y^{2}=1\)，把\(x^{2}+y^{2}=1\)代入得\(2x=-1\)，\(x=-\frac{1}{2}\)，\(y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)。
(1) \(A(-\frac{1}{2},\pm\frac{\sqrt{3}}{2})\)，\(B(\frac{1}{2},\pm\frac{\sqrt{3}}{2})\)，直線\(AB\)與實數軸平行，(1)正確。
(2) \(\overrightarrow{OA}=(-\frac{1}{2},\pm\frac{\sqrt{3}}{2})\)，\(\overrightarrow{OB}=(\frac{1}{2},\pm\frac{\sqrt{3}}{2})\)，\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\neq0\)，\(\triangle OAB\)不是直角三角形，(2)錯誤。
(3) \(z=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，點\(A\)可能在第二象限或第三象限，(3)錯誤。
(4) 若\(z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，\(z^{3}=(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{3}=1\)；若\(z=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，\(z^{3}=(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{3}=1\)，(4)正確。
(5) 若\(z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，\(\vert 1 + z\vert=\vert\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\vert = 1\)；若\(z=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，\(\vert 1 + z\vert=\vert\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\vert = 1\)，所以坐標為\(1 + z\)的點也在同一單位圓上，(5)正確。答案為(1)(4)(5)。 報錯
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