<多選題>設二階實係數方陣\(A\)代表坐標平面的一個鏡射變換且滿足\(A^{3}=\begin{bmatrix}0& – 1\\ – 1&0\end{bmatrix}\)；另設二階實係數方陣\(B\)代表坐標平面的一個(以原點為中心的)旋轉變換且滿足\(B^{3}=\begin{bmatrix}-1&0\\0& – 1\end{bmatrix}\)，試選出正確的選項。
(1) \(A\)恰有三種可能
(2) \(B\)恰有三種可能
(3) \(AB = BA\)
(4) 二階方陣\(AB\)代表坐標平面的一個旋轉變換
(5) \(BABA=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\)
(1) 設\(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)，因為\(A\)是鏡射變換，\(A^{2}=I\)（單位矩陣），又\(A^{3}=\begin{bmatrix}0& - 1\\ - 1&0\end{bmatrix}\)，可得\(A=\begin{bmatrix}0& - 1\\ - 1&0\end{bmatrix}A^{-1}\)，而\(A^{-1}=A\)（鏡射變換性質），解方程組可得\(A\)有兩種可能，(1)錯誤。
(2) 設\(B=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\)，由\(B^{3}=\begin{bmatrix}-1&0\\0& - 1\end{bmatrix}\)，即\(\begin{bmatrix}\cos3\theta&-\sin3\theta\\\sin3\theta&\cos3\theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&0\\0& - 1\end{bmatrix}\)，\(3\theta=(2k + 1)\pi,k\in Z\)，\(\theta=\frac{(2k + 1)\pi}{3},k = 0,1,2\)，所以\(B\)恰有三種可能，(2)正確。
(3) 取\(A\)、\(B\)的具體矩陣計算，\(AB\neq BA\)，(3)錯誤。
(4) 因為\(A\)是鏡射變換，\(B\)是旋轉變換，\(AB\)不是旋轉變換，(4)錯誤。
(5) \(BABA=(BA)^{2}\)，計算可得\((BA)^{2}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\)，(5)正確。答案為(2)(5)。 報錯
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