<非選擇題>坐標空間中，設\(E\)為過原點且由向量\(\vec{u}=(2,0,1)\)、\(\vec{v}=(0,1,1)\)所張出的平面。將空間中兩點\(A\)、\(B\)垂直投影到平面\(E\)上，所得投影點依序為\(A’\)、\(B’\)兩點。已知\(\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}=5\)，\(\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}=2\)，試證明\(\overrightarrow{A’B’}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}\)。(2分)
答案
設向量\(\overrightarrow{AB}=\vec{w}\)，向量\(\vec{w}\)在平面\(E\)上的投影向量為\(\overrightarrow{A'B'}\)。
根據向量投影的性質，向量\(\vec{w}\)在平面\(E\)的法向量\(\vec{n}\)方向上的分量被去掉，而\(\vec{u}\)在平面\(E\)上，所以\(\overrightarrow{AB}\)在\(\vec{u}\)方向上的分量在投影過程中不變。
即\(\overrightarrow{A'B'}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}\)（向量在平面上的投影向量與平面內向量的數量積等於原向量與該平面內向量的數量積，可由向量投影的幾何意義得出）。 報錯
ChatGPT DeepSeek
