<非選擇題>坐標空間中，設\(E\)為過原點且由向量\(\vec{u}=(2,0,1)\)、\(\vec{v}=(0,1,1)\)所張出的平面。將空間中兩點\(A\)、\(B\)垂直投影到平面\(E\)上，所得投影點依序為\(A’\)、\(B’\)兩點。已知\(\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}=5\)，\(\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}=2\)，若\(\overrightarrow{A’B’}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\)，試求實數\(\alpha\)，\(\beta\)之值。(6分)
已知\(\overrightarrow{A'B'}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\)，\(\vec{u}=(2,0,1)\)，\(\vec{v}=(0,1,1)\)，所以\(\overrightarrow{A'B'}=(2\alpha,\beta,\alpha+\beta)\)。
由(2)知\(\overrightarrow{A'B'}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}=5\)，即\((2\alpha,\beta,\alpha+\beta)\cdot(2,0,1)=5\)，可得\(4\alpha+\alpha+\beta = 5\)，即\(5\alpha+\beta = 5\) ①；
又\(\overrightarrow{A'B'}\cdot\vec{v}=\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}=2\)，即\((2\alpha,\beta,\alpha+\beta)\cdot(0,1,1)=2\)，可得\(\beta+\alpha+\beta = 2\)，即\(\alpha + 2\beta = 2\) ②。
由①\(\times2 -\)②得：\(10\alpha + 2\beta - (\alpha + 2\beta)=10 - 2\)，\(9\alpha = 8\)，解得\(\alpha=\frac{8}{9}\)。
把\(\alpha=\frac{8}{9}\)代入①得：\(5\times\frac{8}{9}+\beta = 5\)，\(\beta = 5 - \frac{40}{9}=-\frac{5}{9}\)。
所以\(\alpha=\frac{8}{9}\)，\(\beta =-\frac{5}{9}\)。 報錯
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