<非選擇題>設\(f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx + d\)為三次實係數多項式函數。已知\(f'(x)\)是\(f(x)\)的因式，若\(f(x)=\frac{1}{3}f'(x)(x + k)\)，其中\(k\)為實數，試求出\(b\)（以\(k\)的數學式表示）。(4分)
答案
首先對\(f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx + d\)求導，可得\(f'(x)=3x^{2}+2bx + c\)。
將\(f(x)=\frac{1}{3}f'(x)(x + k)\)展開：
\(x^{3}+bx^{2}+cx + d=\frac{1}{3}(3x^{2}+2bx + c)(x + k)\)
\(=\frac{1}{3}(3x^{3}+3kx^{2}+2bx^{2}+2bkx + cx + ck)\)
\(=x^{3}+(k+\frac{2b}{3})x^{2}+(\frac{2bk + c}{3})x+\frac{ck}{3}\)。
對比等式兩邊\(x^{2}\)的係數，可得\(b = k+\frac{2b}{3}\)，
移項可得\(b-\frac{2b}{3}=k\)，即\(\frac{b}{3}=k\)，所以\(b = 3k\)。 報錯
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