<單選題>考慮兩個函數\(f(x)= \begin{cases}1 + x, & x \leq1 \\ 1, & x>1\end{cases}\)、\(g(x)= \begin{cases}1, & x \leq1 \\ 3 – x, & x>1\end{cases}\)。關於函數的極限，試選出正確的選項。
(1)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)存在
(2)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)不存在
(3)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)不存在
(4)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)存在
(5)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)不存在
答案
首先求\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)：
\(\lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 1^{-}}(1 + x)=1 + 1 = 2\)，\(\lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x)=1\)，左右極限不相等，所以\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)不存在。
再求\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)：\(\lim\limits_{x \to 1^{-}} g(x)=1\)，\(\lim\limits_{x \to 1^{+}} g(x)=\lim\limits_{x \to 1^{+}}(3 - x)=3 - 1 = 2\)，左右極限不相等，所以\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)不存在。
然後求\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)：\(\lim\limits_{x \to 1^{-}}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x \to 1^{-}}(1 + x + 1)=\lim\limits_{x \to 1^{-}}(x + 2)=3\)，\(\lim\limits_{x \to 1^{+}}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x \to 1^{+}}(1 + 3 - x)=\lim\limits_{x \to 1^{+}}(4 - x)=3\)，左右極限相等，所以\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x)) = 3\)存在。
答案為(4)。 報錯
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