<多選題>設二階方陣\(M\)為在坐標平面上定義的線性變換，\(O\)為原點。已知\(M\)可將不共線的三點\(O\)、\(A\)、\(B\)映射至不共線的三點\(O\)、\(A’\)、\(B’\)，試選出正確的選項。
(1)\(M\)為可逆矩陣
(2)若\(M\)將點\(C\)映射至點\(C’\)且\(\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}\)，則\(\overrightarrow{OC}’=2\overrightarrow{OA}’+3\overrightarrow{OB}’\)
(3)\(\angle AOB=\angle A’OB’\)
(4)\(\overline{OA}:\overline{OB}=\overline{OA’}:\overline{OB’}\)
(5)\(\triangle OA’B’\)的面積\(=\triangle OAB\)的面積\(\times|det(M)|\)
答案
(1) 因為\(M\)將不共線的三點\(O\)、\(A\)、\(B\)映射至不共線的三點\(O\)、\(A'\)、\(B'\)，說明\(M\)是一一映射，所以\(M\)為可逆矩陣，(1)正确。
(2) 由線性變換的性質，若\(\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}\)，則\(\overrightarrow{OC}'=M\overrightarrow{OC}=M(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}) = 2M\overrightarrow{OA}+3M\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}'+3\overrightarrow{OB}'\)，(2)正确。
(3) 線性變換不一定保持角度不變，所以\(\angle AOB\)不一定等於\(\angle A'OB'\)，(3)错误。
(4) 線性變換不一定保持線段比例不變，所以\(\overline{OA}:\overline{OB}\)不一定等於\(\overline{OA'}:\overline{OB'}\)，(4)错误。
(5) 根据線性變換的性質，\(\triangle OA'B'\)的面積\(=\triangle OAB\)的面積\(\times|det(M)|\)，(5)正确。
答案为(1)(2)(5)。 報錯
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