<選填題>在坐標平面上，一圓心在\(y\)軸正向上的圓，與直線\(y = mx\)相切，其中\(m>0\)。若此圓圓心與\(x\)軸的距離和切點與\(x\)軸的距離之比值為5，則\(m=\frac{(12)}{(13)}\)（化成最簡分數）。
設圓心坐標為\((0,y_0)\)（\(y_0>0\)），切點坐標為\((x_1,y_1)\)。
由圓心與\(x\)軸的距離和切點與\(x\)軸的距離之比值為5，可得\(y_0 = 5y_1\)。
直線\(y = mx\)的一般式為\(mx - y = 0\)，根據點\((x_0,y_0)\)到直線\(Ax + By + C = 0\)的距離公式\(d=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)，圓心\((0,y_0)\)到直線\(mx - y = 0\)的距離等於圓的半徑\(r\)，即\(r=\frac{\vert - y_0\vert}{\sqrt{m^{2}+1}}\)。
又因為切點\((x_1,y_1)\)在直線\(y = mx\)上，所以\(y_1 = mx_1\)，且圓心\((0,y_0)\)與切點\((x_1,y_1)\)的距離也為半徑\(r\)，即\(r=\sqrt{(x_1 - 0)^{2}+(y_1 - y_0)^{2}}\)。
由\(y_0 = 5y_1\)，可得\(r=\sqrt{x_1^{2}+(y_1 - 5y_1)^{2}}=\sqrt{x_1^{2}+16y_1^{2}}\)。
再由\(y_1 = mx_1\)，\(r=\frac{\vert - y_0\vert}{\sqrt{m^{2}+1}}=\frac{5y_1}{\sqrt{m^{2}+1}}\)，且\(r=\sqrt{x_1^{2}+16y_1^{2}}\)，\(x_1=\frac{y_1}{m}\)，代入可得：
\(\frac{5y_1}{\sqrt{m^{2}+1}}=\sqrt{(\frac{y_1}{m})^{2}+16y_1^{2}}\)，兩邊同時平方得\(\frac{25y_1^{2}}{m^{2}+1}=\frac{y_1^{2}}{m^{2}}+16y_1^{2}\)，因為\(y_1\neq0\)（否則圓不存在），等式兩邊同時除以\(y_1^{2}\)得\(\frac{25}{m^{2}+1}=\frac{1}{m^{2}} + 16\)。
通分得到\(25m^{2}=m^{2}+1 + 16m^{2}(m^{2}+1)\)，即\(16m^{4}-8m^{2}+1 = 0\)，令\(t = m^{2}(t>0)\)，則\(16t^{2}-8t + 1 = 0\)，\((4t - 1)^{2}=0\)，解得\(t=\frac{1}{4}\)，所以\(m^{2}=\frac{1}{4}\)，又\(m>0\)，則\(m=\frac{1}{2}\)。（原答案可能有誤，按照正確解題步驟得出\(m=\frac{1}{2}\) ，若按原答案思路需補充更多條件） 報錯
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