<單選題>在平面直角坐標系中，已知橢圓\(E:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a\gt b\gt0)\)的左右焦點分別為\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，過\(F_{1}\)且斜率為\(\sqrt{3}\)的直線與橢圓\(E\)相交於\(A\)，\(B\)兩點，若\(\vert AF_{2}\vert+\vert BF_{2}\vert = 2\vert AB\vert\)，則橢圓\(E\)的離心率為？
(1)\(\frac{1}{3}\)
(2)\(\frac{1}{2}\)
(3)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
(4)\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
(5)\(\frac{2}{3}\)
根據橢圓的定義，\(\vert AF_{1}\vert+\vert AF_{2}\vert = 2a\)，\(\vert BF_{1}\vert+\vert BF_{2}\vert = 2a\)。
所以\(\vert AF_{1}\vert+\vert AF_{2}\vert+\vert BF_{1}\vert+\vert BF_{2}\vert = 4a\)，即\(\vert AB\vert+\vert AF_{2}\vert+\vert BF_{2}\vert = 4a\)。
又因為\(\vert AF_{2}\vert+\vert BF_{2}\vert = 2\vert AB\vert\)，所以\(3\vert AB\vert = 4a\)，\(\vert AB\vert=\frac{4a}{3}\)。
設直線\(AB\)的方程為\(y=\sqrt{3}(x + c)\)（\(c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}\)），聯立\(\begin{cases}y=\sqrt{3}(x + c)\\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\end{cases}\)，消去\(y\)得：
\(b^{2}x^{2}+a^{2}\times3(x + c)^{2}=a^{2}b^{2}\)，\(b^{2}x^{2}+3a^{2}(x^{2}+2cx + c^{2})=a^{2}b^{2}\)，\((b^{2}+3a^{2})x^{2}+6a^{2}cx+3a^{2}c^{2}-a^{2}b^{2}=0\)。
設\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)，由弦長公式\(\vert AB\vert=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}\)（\(k = \sqrt{3}\)）。
\(x_{1}+x_{2}=-\frac{6a^{2}c}{b^{2}+3a^{2}}\)，\(x_{1}x_{2}=\frac{3a^{2}c^{2}-a^{2}b^{2}}{b^{2}+3a^{2}}\)。
\(\vert AB\vert=\sqrt{1 + 3}\cdot\sqrt{(-\frac{6a^{2}c}{b^{2}+3a^{2}})^{2}-4\times\frac{3a^{2}c^{2}-a^{2}b^{2}}{b^{2}+3a^{2}}}=\frac{4a}{3}\)。
又\(b^{2}=a^{2}-c^{2}\)，代入化簡可得\(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}\)，答案為(1)。 報錯
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