<選填題>考慮坐標平面上相異三點\(A\)、\(B\)、\(C\)，其中點\(A\)為\((1,1)\)。分別以線段\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)為直徑作圓，此兩圓交於點\(A\)及點\(P(4,2)\)。已知\(\vert\overrightarrow{PB}\vert = 3\sqrt{10}\)且點\(B\)在第四象限，則點\(B\)的坐標為
答案
設\(B(x,y)\)，\(\overrightarrow{PB}=(x - 4,y - 2)\)。
因為\(\vert\overrightarrow{PB}\vert = 3\sqrt{10}\)，所以\((x - 4)^{2}+(y - 2)^{2}=90\) ①。
又因為\(\angle APB = 90^{\circ}\)（圓直徑所對圓周角為直角），\(\overrightarrow{AP}=(3,1)\)，\(\overrightarrow{PB}=(x - 4,y - 2)\)，\(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{PB}=3(x - 4)+(y - 2)=0\)，即\(3x + y = 14\)，\(y = 14 - 3x\) ②。
把②代入①得：\((x - 4)^{2}+(14 - 3x - 2)^{2}=90\)，\((x - 4)^{2}+(12 - 3x)^{2}=90\)，\(x^{2}-8x + 16+144 - 72x + 9x^{2}=90\)，\(10x^{2}-80x + 70 = 0\)，\(x^{2}-8x + 7 = 0\)，\((x - 1)(x - 7)=0\)，解得\(x = 1\)（捨去，與\(A\)點重合）或\(x = 7\)。
把\(x = 7\)代入\(y = 14 - 3x\)得\(y=-7\)。所以點\(B\)的坐標為\((7,-7)\)。 報錯
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