<多選>設\(F(x)\)為一實數多項式且\(F'(x)=f(x)\) 。已知\(f'(x)>x^{2}+1.1\)對所有的實數\(x\)均成立，試選出正確的選項。
(1)\(f'(x)\)為遞增函數
(2)\(f(x)\)為遞增函數
(3)\(F(x)\)為遞增函數
(4)\([f(x)]^{2}\)為遞增函數
(5)\(f(f(x))\)為遞增函數
答案
(1)因為\(f''(x)=(f'(x))'>2x未必大於0\)，\(f'(x)\)非遞增函數，(1)錯誤。
(2)由\(f'(x)>x^{2}+1.1>0\)可知，\(f'(x)>0\)恆成立，所以\(f(x)\)為遞增函數，(2)正確。
(3)\(F'(x)=f(x)\)，但僅知道\(f(x)\)遞增，不能直接得出\(F(x)\)為遞增函數，比如\(f(x)=x\)遞增，\(F(x)=\frac{1}{2}x^{2}\)在\((-\infty,0)\)上遞減，在\((0,+\infty)\)上遞增，(3)錯誤。
(4)令\(y = [f(x)]^{2}\)，則\(y' = 2f(x)f'(x)\)，雖然\(f'(x)>0\)，但\(f(x)\)的值有正有負，所以\(y'\)的正負不確定，\([f(x)]^{2}\)不一定是遞增函數，(4)錯誤。
(5)函數\(f(f(x))\)的導函數為\(f'(f(x)) \times f'(x)\)。
因為\(f'(f(x)) \times f'(x) > \left( (f(x))^2 + 1.1 \right) \times f'(x)\)對所有實數\(x\)均成立，
且\((f(x))^2 + 1.1\)恆正、\(f'(x)\)恆正，所以\(f(f(x))\)的導函數恆正，
因此\(f(f(x))\)是遞增函數。答案為(2)(5)。
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