<非選擇>坐標空間中，令\(E\)為通過三點\(A(0,-1,-1)\)、\(B(1,-1,-2)\)、\(C(0,1,0)\)的平面。假設\(H\)為空間中一點，且滿足\(\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+3(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\)。
(1)試求四面體\(ABCH\)的體積。（4分）（註：四面體體積為三分之一的底面積乘以高）
(2)坐標空間中，令\(E\)為通過三點\(A(0,-1,-1)\)、\(B(1,-1,-2)\)、\(C(0,1,0)\)的平面。假設\(H\)為空間中一點，且滿足\(\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+3(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\)。令點\(H’\)為點\(H\)相對於平面\(E\)的對稱點，試求\(H\)的坐標。（4分）
(3)坐標空間中，令\(E\)為通過三點\(A(0,-1,-1)\)、\(B(1,-1,-2)\)、\(C(0,1,0)\)的平面。假設\(H\)為空間中一點，且滿足\(\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+3(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\) 。試判斷點\(H\)在平面\(E\)的投影點是否位在\(\triangle ABC\)的內部？並說明理由。(4分)(註：三角形的內部不含三角形的三邊)
設\(\overrightarrow{AQ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)，如圖所示。
已知\(\overrightarrow{AB} = (1, 0, -1)\)，\(\overrightarrow{AC} = (0, 2, 1)\)，
因此\(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (2, -1, 2)\)，且\(|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = 3\)。
(1) 四面體\(ABCH\)的體積計算
因為\(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\)垂直於平面\(E\)，故四面體\(ABCH\)以\(\triangle ABC\)為底面的高為\(|3(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})|\)。
又\(\triangle ABC\)的面積為：
\[
\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \times 3 = \frac{3}{2}
\]
且高滿足：
\[
|3(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})| = 3 \times |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = 9
\]
因此四面體\(ABCH\)的體積為：
\[
\frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{2} \times 9 = \frac{9}{2}
\]
(2) \(H'\)的坐標求解
設\(H'\)的坐標為\((x, y, z)\)，由\(\overrightarrow{AH'} = \overrightarrow{AQ} + \overrightarrow{QH'} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} - 3(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})\)，
代入向量坐標計算：
\[
\begin{align*}
(x, y + 1, z + 1) &= \frac{2}{3}(1, 0, -1) - \frac{1}{3}(0, 2, 1) - 3(2, -1, 2) \\
&= \left( \frac{2}{3} - 0 - 6,\ 0 - \frac{2}{3} + 3,\ -\frac{2}{3} - \frac{1}{3} - 6 \right) \\
&= \left( -\frac{16}{3},\ \frac{7}{3},\ -7 \right)
\end{align*}
\]
解得\(x = -\frac{16}{3}\)，\(y = \frac{4}{3}\)，\(z = -8\)，故\(H'\)的坐標為\(\left( -\frac{16}{3},\ \frac{4}{3},\ -8 \right)\)。
(3) \(Q\)點與平面\(E\)的關係
因為\(\overrightarrow{QH'}\)垂直於平面\(E\)，所以\(Q\)是\(H'\)在平面\(E\)的投影點。
由圖可知，\(Q\)點不在\(\triangle ABC\)的內部。
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