<多選>假設\(f(x)\)為五次實係數多項式，且\(f(x)\)除以\(x^{n}-1\)的餘式為\(r_{n}(x)\) ，\(n\)是正整數。試選出正確的選項。
(1)\(r_{1}(x)=f(1)\)
(2)\(r_{2}(x)\)是一次實數多項式
(3)\(r_{4}(x)\)除以\(x^{2}-1\)所得的餘式等於\(r_{2}(x)\)
(4)\(r_{5}(x)=r_{6}(x)\)
(5)若\(f(-x)=-f(x)\) ，則\(r_{3}(-x)=-r_{3}(x)\)
答案
(1)由餘式定理，\(f(x)=(x - 1)q(x)+r_{1}(x)\) ，令\(x = 1\) ，得\(r_{1}(x)=f(1)\) ，(1)正確。
(2) \(f(x)=(x^{2}-1)q(x)+r_{2}(x)\) ，\(r_{2}(x)\)次數小於\(2\) ，可能是常數多項式，(2)錯誤。
(3) 因為\(x^{4}-1=(x^{2}-1)(x^{2}+1)\) ，所以\(r_{4}(x)\)除以\(x^{2}-1\)的餘式和\(f(x)\)除以\(x^{2}-1\)的餘式相同，即\(r_{4}(x)\)除以\(x^{2}-1\)所得的餘式等於\(r_{2}(x)\) ，(3)正確。
(4) \(x^{5}-1\)與\(x^{6}-1\)不同，\(r_{5}(x)\)和\(r_{6}(x)\)一般不相等，(4)錯誤。
(5) \(f(x)=(x^{3}-1)q(x)+r_{3}(x)\) ，\(f(-x)=(-x^{3}-1)q(-x)+r_{3}(-x)\) ，因\(f(-x)=-f(x)\) ，可得\(r_{3}(-x)=-r_{3}(x)\) ，(5)正確。答案為(1)(3)(5)。 報錯
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