<多選>已知\(z_{1}\)、\(z_{2}\)、\(z_{3}\)、\(z_{4}\)為四個相異複數，且其在複數平面上所對應的點，依序可連成一個平行四邊形，試問下列哪些選項必為實數？
(1)\((z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})\)
(2)\(z_{1}-z_{2}+z_{3}-z_{4}\)
(3)\(z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}\)
(4)\(\frac{z_{1}-z_{2}}{z_{3}-z_{4}}\)
(5)\((\frac{z_{2}-z_{4}}{z_{1}-z_{3}})^{2}\)
答案
在複數平面上，若\(z_{1}\)、\(z_{2}\)、\(z_{3}\)、\(z_{4}\)對應點構成平行四邊形，則\(z_{1}+z_{3}=z_{2}+z_{4}\) ，即\(z_{1}-z_{2}+z_{3}-z_{4}=0\)，\(0\)是實數，(2)正確。
對於(1)，在平行四邊形中，\((z_{1}-z_{3})\)與\((z_{2}-z_{4})\)是平行四邊形的兩條對角線向量，它們的乘積不一定是實數；
對於(3)，\(z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}=2(z_{2}+z_{4})\)不一定是實數；
對於(4)，\(\frac{z_{1}-z_{2}}{z_{3}-z_{4}}\)不一定是實數；
對於(5)，由\(z_{1}-z_{3}\)與\(z_{2}-z_{4}\)是平行四邊形的對角線向量，\((\frac{z_{2}-z_{4}}{z_{1}-z_{3}})^{2}\)不一定是實數。答案為(2)。 報錯
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